2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用章末复习提升课学案 新人教A版必修第二

-1-章末复习提升课平面向量的线性运算(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()-2-A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→(2)如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC→＝λAM→＋μBD→，则λ＋μ＝()A.43B.53C.158D.2【解析】(1)法一：如图所示，EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.法二：EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－12×12(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.(2)因为AC→＝λAM→＋μBD→＝λ(AB→＋BM→)＋μ(BA→＋AD→)＝λ(AB→＋12AD→)＋μ(－AB→＋AD→)＝(λ－μ)错误!未定义书签。＋12λ＋μAD→，且AC→＝AB→＋AD→，所以λ－μ＝1，12λ＋μ＝1得λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.【答案】(1)A(2)B向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)．若(a＋kb)∥c，则实数k的值为()A．2B．12C．114D．－114解析：选B.由题意知，a＋kb＝(2，－1)＋k(1，1)＝(k＋2，k－1)，由(a＋kb)∥c，得－5(k－1)＝k＋2，解得k＝12，故选B.-3-平面向量数量积的运算如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE→·BE→的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，B(1，0)，D－12，32，设C(1，m)，E(x，y)，所以DC→＝32，m－32，AD→＝－12，32，因为AD⊥CD，所以32，m－32·－12，32＝0，即32×－12＋32m－32＝0，解得m＝3，即C(1，3)，因为E在CD上，所以32≤y≤3，由CE→∥DC→，得(x－1)3－32＝32(y－3)，即x＝3y－2，因为AE→＝(x，y)，BE→＝(x－1，y)，所以AE→·BE→＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝(3y－2)2－3y＋2＋y2＝4y2－53y＋6，令f(y)＝4y2－53y＋6，y∈32，3.因为函数f(y)＝4y2－53y＋6在32，538上单调递减，在538，3上单调递增，所以f(y)min＝4×5382－53×538＋6＝2116.所以AE→·BE→的最小值为2116，故选A.【答案】A向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.-4-1．已知向量a，b的夹角为3π4，|a|＝2，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．解析：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2×2×2×－22＝6.答案：62．设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→等于________．解析：AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋34AD→，NM→＝CM→－CN→＝－14AD→＋13AB→，所以AM→·NM→＝14(4AB→＋3AD→)·112(4AB→－3AD→)＝148(16AB→2－9AD→2)＝148(16×62－9×42)＝9.答案：9向量的夹角及垂直问题(1)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A．－4B．－3C．－2D．－1(2)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．以上都不对【解析】(1)因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，(m＋n)⊥(m－n)，所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.(2)设向量a与b的夹角为θ，因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)，所以c2＝(a＋b)2，即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，所以19＝4＋9＋12cosθ，所以cosθ＝12，又0°≤θ≤180°，所以a与b的夹角为60°.【答案】(1)B(2)C解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．-5-1．设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________．解析：因为a＝(1，0)，b＝(－1，m)，所以ma－b＝(m＋1，－m)．由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，即m＋1＝0，得m＝－1.答案：－12．(2019·东北三省三校检测)已知非零向量a，b满足|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b与b夹角的大小为________．解析：因为非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，所以a2＝a·b，由|a－b|＝|a|可得a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝2|a|，设a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝（a－b）·b|a－b||b|＝a·b－|b|2|a||b|＝|a|2－2|a|22|a|2＝－22，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.答案：135°向量的长度(模)与距离的问题已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，AB→＝2a＋2b，AC→＝2a－6b，D为BC的中点，则|AD→|等于()A．2B．4C．6D．8【解析】因为AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD→|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×3－2×2×3×cosπ6＋4＝4，则|AD→|＝2.【答案】A解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式：|a|＝x2＋y2(其中a＝(x，y))．(2)应用三角形法则或平行四边形法则．(3)应用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(4)研究模的平方|a±b|2＝(a±b)2.(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为2π3，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于()A．3B．23-6-C．3D．4解析：选D.因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×12＝8，解得|b|＝4.利用正、余弦定理解三角形已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.【解】(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝22，所以B＝45°.(2)因为sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°·sin45°＝2＋64.故a＝bsinAsinB＝1＋3.又C＝180°－45°－75°＝60°，所以c＝bsinCsinB＝2×sin60°sin45°＝6.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()-7-A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知12absinC＝a2＋b2－c24，所以sinC＝a2＋b2－c22ab＝cosC，所以在△ABC中，C＝π4.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.判断三角形的形状在△ABC中，若已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．【解】由正弦定理的推论，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R，则已知条件转化为4R2sin2Bsin2C＋4R2sin2Csin2B＝8R2sinBsinCcosBcosC.因为sinBsinC≠0，-8-所以sinBsinC＝cosBcosC，所以cos(B＋C)＝0.因为0°B＋C180°，所以B＋C＝90°，所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形．判定三角形形状的两种途径(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA＝sinB⇔A＝B，sin(A－B)＝0⇔A＝B，sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA＝a2R，cosA＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(2019·福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中)在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则该三角形的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选A.因为lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，所以sinAcosB·sinC＝2，由正弦定理可得asinA＝csinC，所以sinAsinC＝ac，所以cosB＝a2c，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2c，整理得c2＝b2，c＝b，所以△ABC的形状是等腰三角形，故选A.正、余弦定理的实际应用已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【解】如图所示，在△ABC中，依题意得BC＝202海里，-9-∠ABC＝90°－75°＝15°，∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.由正弦定理，得ACsin15°＝BCsin45°，所以AC＝2