2019-2020学年新教材高中数学 第七章 复数 7.1.2 复数的几何意义 复数的几何意义学案

-1-7．1.2复数的几何意义考点学习目标核心素养复平面了解复平面的概念数学抽象复数的几何意义理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系直观想象复数的模掌握复数的模的概念，会求复数的模数学运算共轭复数掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数数学运算问题导学预习教材P70－P72的内容，思考以下问题：1．复平面是如何定义的？2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？3．复数z＝a＋bi的共轭复数是什么？1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←――→一一对应复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←――→一一对应平面向量OZ→.■名师点拨(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.(2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，书写时应小写；复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时应大写．3．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ→，则OZ→的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|-2-或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2．■名师点拨如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．4．共轭复数(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．(3)复数z的共轭复数用z－表示，即如果z＝a＋bi，那么z－＝a－bi．■名师点拨复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数z－＝a－bi在复平面内对应的点为(a，－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)原点是实轴和虚轴的交点．()(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．()(3)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.()(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√复数1－2i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D复数z＝1＋3i的模等于()A．2B．4C.10D．22答案：C复数z＝－2＋5i的共轭复数z－＝________．答案：－2－5i复数与复平面内的点已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．-3-(1)在实轴上；(2)在第三象限．【解】(1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝12.(2)若z对应的点在第三象限，则有a2－10，2a－10，解得－1a12.故a的取值范围是－1，12.[变条件]本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．解：若z对应的点(a2－1，2a－1)在抛物线y2＝4x上，则有(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.解：(1)若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，则m2－m－20，m2－3m＋2＝0，所以m＝1，所以z＝－2.复数与复平面内的向量在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数．【解】法一：由复数的几何意义得A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，则AC的中点为2，32，-4-由平行四边形的性质知该点也是BD的中点，设D(x，y)，则x＋12＝2，y＋02＝32，所以x＝3，y＝3，即点D的坐标为(3，3)，所以点D对应的复数为3＋3i.法二：由已知得OA→＝(0，1)，OB→＝(1，0)，OC→＝(4，2)，所以BA→＝(－1，1)，BC→＝(3，2)，所以BD→＝BA→＋BC→＝(2，3)，所以OD→＝OB→＋BD→＝(3，3)，即点D对应的复数为3＋3i.复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．1．已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA→，OB→对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA→对应的复数是()A．－5＋5iB．5－5iC．5＋5iD．－5－5i解析：选B.向量OA→，OB→对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA→＝(2，－3)，OB→＝(－3，2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA→＝OA→－OB→＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA→对应的复数是5－5i.2．在复平面内，O为原点，向量OA→表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB→表示的复数为()A．－2－iB．－2＋iC．1＋2iD．－1＋2i解析：选B.由题意得A(－1，2)，则B(－2，1)，所以向量OB→表示的复数为－2＋i.-5-复数的模(1)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i且|z1||z2|，则实数a的取值范围是()A．－1a1B．a－1或a1C．a1D．a0(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是()A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆【解析】(1)由题意得a2＋22（－2）2＋12，即a2＋45(a∈R)，所以－1a1.(2)由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，因为|z|≥0，所以|z|＝3，所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．【答案】(1)A(2)A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．1．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是()A．z1z2B．z1z2C．|z1||z2|D．|z1||z2|解析：选D.|z1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，|z2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41.因为3441，所以|z1||z2|.2．已知复数z＝3＋ai(a∈R)，且|z|4，求实数a的取值范围．解：法一：因为z＝3＋ai(a∈R)，所以|z|＝32＋a2，由已知得32＋a242，所以a27，所以a∈(－7，7)．法二：由|z|4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，由图可知－7a7.-6-1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)解析：选A.由题意得m＋30，m－10，解得－3m1.2．在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量OB→对应的复数为()A．－2－iB．2＋iC．1＋2iD．－1＋2i解析：选D.由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(－1，2)，故向量OB→对应的复数为－1＋2i.3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是____________．解析：依题意，可知z＝a＋i(a∈R)，则|z|2＝a2＋1.因为0＜a＜2，所以a2＋1∈(1，5)，即|z|∈(1，5)．答案：(1，5)4．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．解析：因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4.答案：24[A基础达标]1．已知复数z＝a＋a2i(a0)，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为a0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是()-7-A.5B.10C．5D．25解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为（－2－1）2＋[1－（－3）]2＝5，故选C.3．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为5，则复数z＝()A．3－5iB.5－3iC．2－5iD.5－2i解析：选D.由题意可设复数z＝5＋yi(y∈R，y0)，则（5）2＋y2＝3，所以y＝－2，复数z＝5－2i.故选D.4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋25i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A．5B.13C．22D．2解析：选A.由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，所以x＋6＝3，3－2x＝y＋5，解得x＝－3，y＝4，所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5，故选A.5．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z＝12＋32i对应的点为Z，将点Z绕原点逆时针旋转90°后得到点Z′，则Z′对应的复数是()A．－12＋32iB.12－32iC．－32＋12iD.32－12i解析：选C.|OZ|＝|z|＝1，故Z点坐标为(cos60°，sin60°)，逆时针旋转90°后得到点Z′，所以Z′(cos150°，sin150°)＝－32，12，则Z′对应的复数是－32＋12i.6．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是____________．解析：|z|＝1＋4m2≤2，解得－32≤m≤32.答案：－32，327．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝____________．解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝5，得a2＋4a2＝5，解得a＝±1，故-8-z＝1＋2i或z＝－1－2i.答案：1＋2i或－1－2i8．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________．解析：设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得－5＋13－1＝a＋1－2－1，从而可得a＝5.答案：59．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：(1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线y＝x上．解：(1)由题意得m－30，m2－5m－140，解得3m7，此时复数z对应的点位于第四象限．(2)由题意得m－30，m2－5m－140或m－30，m2－5m－140.所