2019-2020学年新教材高中数学 第七章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念学案 新人教A

-1-7．1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算问题导学预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．3．复数的分类-2-(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数（b＝0），虚数（b≠0）纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0Ｗ.(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数bi(b∈R)不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi(b∈R)才是纯虚数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()(2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.()(3)复数z＝bi是纯虚数．()(4)实数集与复数集的交集是实数集．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为()A．0B．1C．－1D．1或－1答案：D以3i－2的虚部为实部，以－3＋2i的实部为虚部的复数是()A．3－3iB．3＋iC．－2＋2iD.2＋2i答案：A若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________．答案：－12－74复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且ab，则a＋ib＋i；-3-③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒]解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是()A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C．若b＝0，则a＋bi为实数D．i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.复数的分类当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】(1)当m2－2m＝0，m≠0，即m＝2时，复数z是实数．(2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．-4-(3)当m≠0，m2＋m－6m＝0，m2－2m≠0，即m＝－3时，复数z是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.1．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则()A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠2解析：选C.复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故选C.2．当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是：(1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，则m2－2m－7＝1m2＋5m＋6≠0，解得m＝4.(2)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，则m2－2m－70，m2＋5m＋6＝0，解得m＝－2或m＝－3.复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝()A．4或0B．－4或0C．2或0D．－2或0(2)若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)1，则实数x的值是________．【解析】(1)由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.(2)因为log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)1，-5-所以log2（x2－3x－2）1，log2（x2＋2x＋1）＝0，即x2－3x－22，x2＋2x＋1＝1，解得x＝－2.【答案】(1)A(2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意]在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．解：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，所以a2－3a－1＝3，a2－5a－6＝0，即a＝4或a＝－1，a＝6或a＝－1，所以a＝－1.1．若复数z＝ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有()A．b＝0B．a＝0且b≠0C．a＝0或b＝0D．ab≠0解析：选B.z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0.2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为()A．－1B．2C．1D．－1或2解析：选D.因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.3．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值等于____________．解析：因为z＜0，所以m2－9＝0，m＋1＜0，解得m＝－3.答案：－34．已知x2－x－6x＋1＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝________．-6-解析：因为x∈R，所以x2－x－6x＋1∈R，由复数相等的条件得x2－x－6x＋1＝0，x2－2x－3＝0，x＋1≠0，解得x＝3.答案：3[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－iB．1＋iC．－3＋3iD．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2B．a＝0C．a≠1且a≠2D．a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝()A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a0且a＝－bC．a0且a≠bD．a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.5．下列命题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3-7-解析：选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．解析：由复数相等可知x－1＝－3x，y＝1，所以x＝14，y＝1.答案：1417．复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.解析：因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相等的充要条件得2m＋7＝m2－8，m2－2＝4m＋3，解得m＝5.答案：58．设z＝log2(1＋m)＋ilog12(3－m)(m∈R)是虚数，则m的取值范围是________．解析：因为z为虚数，所以log12(3－m)≠0，故1＋m0，3－m≠1，3－m0，解得－1m3且m≠2.答案：(－1，2)∪(2，3)9．已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．(1)若复数z是实数，求实数m的值；(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值；(4)若复数z是0，求实数m的值．解：(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，所以m＝5或－3.(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．所以m≠5且m≠－3.所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．(3)当m2－2m－15≠0，m2＋5m＋6＝0时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.-8-(4)当m2－2m－15＝0，m2＋5m＋6＝0时，复数z是0，所以m＝－3.10．已知关于x，y的方程组x＋32＋2（y＋1）i＝y＋4xi，（2x＋ay）－（4x－y＋b）i＝9－8i有实数解，求实数a，b的值．解：设(x0，y0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得x0＋32＝y0①，2（y0＋1）＝4x0②，2x0＋ay0＝9③，－（4x0－y0＋b）＝－8④，由①②得x0＝52，y0＝4，代入③④得a＝1，b＝2.所以实数a，b的值分别为1，2.[B能力提升]11．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．