2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量初步 6.1.3 向量的减法学案 新人教B版必

-1-6．1.3向量的减法考点学习目标核心素养相反向量理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算数学运算与向量加法的关系能将向量的减法运算转化为向量的加法运算数学建模、逻辑推理问题导学预习教材P142－P144的内容，思考以下问题：1．一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？2．任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？3．向量的减法运算及其几何意义是什么？1.一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b．在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，作出向量BA→，注意到OB→＋BA→＝OA→，因此向量BA→就是向量a与b的差(也称BA→为向量a与b的差向量)，即OA→－OB→＝BA→.上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则．2．给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a．因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0．不难看出，a＋(－a)＝0，AB→＋(－AB→)＝0．向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b)．■名师点拨相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)-2-(1)若b是a的相反向量，则a与b一定不相等．()(2)若b是a的相反向量，则a∥b.()(3)向量AB→的相反向量是BA→，且BA→＝－AB→.()(4)PA→－PB→＝AB→.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×化简OP→－QP→＋PS→＋SP→的结果等于()A.QP→B.OQ→C.SP→D.SQ→解析：选B.原式＝(OP→＋PQ→)＋(PS→＋SP→)＝OQ→＋0＝OQ→.如图，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，用a，b表示向量AC→，BD→，则AC→＝________，BD→＝________．解析：由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知AC→＝a＋b，BD→＝b－a.答案：a＋bb－a在平行四边形ABCD中，向量AB→的相反向量为________．答案：BA→，CD→向量减法的几何意义如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.【解】法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，则CB→＝a＋b－c.法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作BC→＝－c，连接OC，则OC→＝a＋b－c.求作两个向量的差向量的两种思路-3-(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解：法一：先作a－b，再作a－b－c即可．如图①所示，以A为起点分别作向量AB→和AC→，使AB→＝a，AC→＝b.连接CB，得向量CB→＝a－b，再以C为起点作向量CD→，使CD→＝c，连接DB，得向量DB→.则向量DB→即为所求作的向量a－b－c.法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.(1)作AB→＝－b和BC→＝－c；(2)作OA→＝a，则OC→＝a－b－c.向量加减法的运算及简单应用(1)化简：①AB→＋OA→－OB→＝________；②AB→＋(BD→＋CA→)＋DC→＝________；③OB→－OA→－OC→－CO→＝________．(2)如图，①用a，b表示DB→；②用b，c表示EC→.【解】(1)①AB→＋OA→－OB→＝AB→＋(OA→－OB→)＝AB→＋BA→＝0；②AB→＋(BD→＋CA→)＋DC→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0；③OB→－OA→－OC→－CO→＝(OB→－OA→)－(OC→＋CO→)＝AB→.故填①0，②0，③AB→.(2)因为BC→＝a，CD→＝b，DE→＝c.-4-①DB→＝CB→－CD→＝－BC→－CD→＝－a－b.②EC→＝－CE→＝－(CD→＋DE→)＝－b－c.(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和．②起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．(3)与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量相等、平行等关系辅助化简运算．如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，则用a，b，c表示下列向量．(1)CD→＝________；(2)BC→＝________；(3)BE→＝________；(4)BD→＝________．解析：因为四边形ACDE为平行四边形，所以CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，BE→＝AE→－AB→＝c－a，所以BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.答案：(1)c(2)b－a(3)c－a(4)b－a＋c向量减法几何意义的应用已知|AB→|＝6，|AD→|＝9，求|AB→－AD→|的取值范围．-5-【解】因为||AB→|－|AD→||≤|AB→－AD→|≤|AB→|＋|AD→|，且|AD→|＝9，|AB→|＝6，所以3≤|AB→－AD→|≤15.当AD→与AB→同向时，|AB→－AD→|＝3；当AD→与AB→反向时，|AB→－AD→|＝15.所以|AB→－AD→|的取值范围为[3，15]．[变条件，变问法]将本例的条件改为“|AB→|＝8，|AD→|＝5”，求|BD→|的取值范围．解：因为BD→＝AD→－AB→，|AB→|＝8，|AD→|＝5，||AD→|－|AB→||≤|AD→－AB→|≤|AD→|＋|AB→|，所以3≤|BD→|≤13，当AB→与AD→同向时，|BD→|＝3，当AB→与AD→反向时，|BD→|＝13，所以|BD→|的取值范围是[3，13]．(1)用向量法解决平面几何问题的步骤①将平面几何问题中的量抽象成向量．②化归为向量问题，进行向量运算．③将向量问题还原为平面几何问题．(2)用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．在四边形ABCD中，AB→＝DC→，若|AD→－AB→|＝|BC→－BA→|，则四边形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定解析：选B.因为AB→＝DC→，所以四边形ABCD为平行四边形，-6-因为|AD→－AB→|＝|BC→－BA→|，所以|BD→|＝|AC→|.所以四边形ABCD为矩形．1．在平行四边形ABCD中，AC→－AD→等于()A.AB→B.BA→C.CD→D.DB→解析：选A.AC→－AD→＝DC→＝AB→.2．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0.正确的个数是()A．3B．4C．5D．6解析：选C.由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确；⑥错误．3．化简BA→－CA→＋DB→－DC→＝________．解析：BA→－CA→＋DB→－DC→＝(BA→＋AC→)＋(DB→－DC→)＝BC→＋CB→＝0.答案：04．已知OA→＝a，OB→＝b，若|OA→|＝5，|OB→|＝12，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．解析：如图，在矩形OACB中，OA→－OB→＝BA→，则|a－b|＝|BA→|＝|a|2＋|b|2＝52＋122＝13.答案：13[A基础达标]-7-1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A.AB→－DC→＝0B.AD→－BA→＝AC→C.AB→－AD→＝BD→D.AD→＋CB→＝0解析：选C.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB→＝DC→，AB→－DC→＝0，AD→－BA→＝AD→＋AB→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，AD→＋CB→＝AD→＋DA→＝0，故只有C错误．2．如图，在四边形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→＝()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c解析：选A.DC→＝DA→＋AB→＋BC→＝a－b＋c.3．已知非零向量a与b同向，则a－b()A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量解析：选C.a－b必定与a是平行向量．4．下列各式中不能化简为AD→的是()A．(AB→－DC→)－CB→B．AD→－(CD→＋DC→)C．－(CB→＋MC→)－(DA→＋BM→)D．－BM→－DA→＋MB→解析：选D.选项A中，(AB→－DC→)－CB→＝AB→＋CD→＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→；选项B中，AD→－(CD→＋DC→)＝AD→－0＝AD→；选项C中，－(CB→＋MC→)－(DA→＋BM→)＝－CB→－MC→－DA→－BM→＝BC→＋CM→＋AD→-8-＋MB→＝(MB→＋BC→＋CM→)＋AD→＝AD→，D不能化简为AD→.5．若a，b为非零向量，则下列命题错误的是()A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同解析：选C.当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确．6．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则BE→－DC→＋ED→＝________．解析：因为D是边BC的中点，所以BE→－DC→＋ED→＝BE→＋ED→－DC→＝BD→－DC→＝0.答案：07．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则OD→＝________．(用a，b，c表示)解析：由题意，在平行四边形ABCD中，因为OA→＝a，OB→＝b，所以BA→＝OA→－OB→＝a－b，所以CD→＝BA→＝a－b，所以OD→＝OC→＋CD→＝a－b＋c.答案：a－b＋c8．在△ABC中，|AB→|＝|BC→|＝|CA→|＝1，则|AB→－BC→|＝________．解析：如图，在△ABD中，-9-AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，AB→－BC→＝AB→＋CB→＝AB→＋BD→＝AD→.易求得AD＝3，即|AD→|＝3.所以|AB→－BC→|＝3.答案：39.已知O为△ABC内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.解：(1)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，所以b＋c－a＝OD→－OA→＝AD→，如图①所示．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图②，以OB→，OC→为邻边作▱OBEC，连接OE，则OE→＝OB→＋OC→＝b＋c，连接AE，则EA→＝a－(b＋c)＝a－b－c.10．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|，证明△ABC是直角三角形．证明：因为OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，又|OB→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|，所以|AB→－AC→|＝|AB→＋AC→|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形，-10