2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.1 对数运算学案

-1-4．2.1对数运算考点学习目标核心素养对数的概念了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化数学抽象、数学运算对数的基本性质理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值数学运算问题导学预习教材P15－P18的内容，思考以下问题：1．对数的概念是什么？对数有哪些性质？2．什么是常用对数、自然对数？3．对数恒等式是什么？4．如何进行对数式和指数式的互化？1．对数的概念(1)在表达式ab＝N(a0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．(2)当a0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N，由此可知，只有N0时，logaN才有意义，这通常简称为负数和零没有对数．(3)loga1＝0；logaa＝1；alogaN＝N；logaab＝b．2．常用对数和自然对数(1)以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把log10N简写为lgN.(2)以无理数e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为ln____N．■名师点拨logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()-2-(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)因为1a＝1，所以log11＝a.()(4)log(－2)(－2)＝1.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×若log8x＝－23，则x的值为()A.14B．4C．2D.12解析：选A.因为log8x＝－23，所以x＝8－23＝2－2＝14，故选A.2log23＝________．解析：由对数恒等式得，2log23＝3.答案：3若log3(log2x)＝0则x12＝________．解析：因为log3(log2x)＝0，所以log2x＝30＝1，所以x＝2，即x12＝2.答案：2对数的概念在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是()A．b2或b5B．2b5C．4b5D．2b5且b≠4【解析】因为b－20，5－b0，5－b≠1，所以2b5且b≠4.【答案】D由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax0，所以N0.-3-求f(x)＝logx1－x1＋x的定义域．解：要使函数式f(x)有意义，需x0，x≠1，1－x1＋x0，解得0x1.所以f(x)＝logx1－x1＋x的定义域为(0，1)．对数式与指数式的互化(1)将下列指数式化成对数式：①54＝625；②2－6＝164；③3a＝27；④13m＝5.73.(2)将下列对数式化成指数式并求x的值：①log64x＝－23；②logx8＝6；③lg100＝x.【解】(1)①log5625＝4；②log2164＝－6；③log327＝a；④log135.73＝m.(2)①x＝64－23＝(43)－23＝4－2＝116.②因为x6＝8，所以x＝(x6)16＝816＝(23)16＝212＝2.③因为10x＝100＝102，所以x＝2.(1)指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：(2)要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．1．如果a＝b2(b0，b≠1)，则有()A．log2a＝bB．log2b＝aC．logba＝2D．logb2＝a解析：选C.logba＝2，故选C.2．计算：(1)log927；(2)log4381；(3)log354625.-4-解：(1)设x＝log927，则9x＝27，32x＝33，所以x＝32.(2)设x＝log4381，则(43)x＝81，3x4＝34，所以x＝16.(3)令x＝log354625，则(354)x＝625，543x＝54，所以x＝3.对数基本性质的应用求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1.【解】(1)因为log2(log5x)＝0.所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5.(2)因为log3(lgx)＝1，所以lgx＝31＝3，所以x＝103＝1000.logaN＝0⇒N＝1；logaN＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为()A．9B．8C．7D．6解析：选A.因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1.所以x＝3.同理y＝4，z＝2.所以x＋y＋z＝9.1．logbN＝a(b0，b≠1，N0)对应的指数式是()A．ab＝NB．ba＝NC．aN＝bD．bN＝a答案：B2．若logax＝1，则()A．x＝1B．a＝1C．x＝aD．x＝10答案：C3．已知logx16＝2，则x等于()A．±4B．4C．256D．2答案：B-5-4．设10lgx＝100，则x的值等于()A．10B．0.01C．100D．1000答案：C[A基础达标]1．将13－2＝9写成对数式，正确的是()A．log913＝－2B．log139＝－2C．log13(－2)＝9D．log9(－2)＝13解析：选B.根据对数的定义，得log139＝－2，故选B.2．方程2log3x＝14的解是()A．x＝19B．x＝33C．x＝3D．x＝9解析：选A.因为2log3x＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝19.3．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()A．a＞12且a≠1B．0＜a＜12C．a＞0且a≠1D．a＜12解析：选B.由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足a＞0，a≠1，－2a＋1＞0，解得0＜a＜12.-6-4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg1＝0B．8－13＝12与log812＝－13C．log39＝2与912＝3D．log77＝1与71＝7解析：选C.由指对互化的关系：ax＝N⇔x＝logaN可知A、B、D都正确；C中log39＝2⇔9＝32.5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是()A．1B．0C．xD．y解析：选B.由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，所以logx(yx)＝log2(12)＝0.6．lg10000＝________；lg0.001＝________．解析：由104＝10000知lg10000＝4，10－3＝0.001得lg0.001＝－3.答案：4－37．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________．解析：因为log2(1－2x)＝1＝log22，所以1－2x＝2，所以x＝－12.经检验满足1－2x0.答案：－128．已知log7(log3(log2x))＝0，那么x－12＝________．解析：由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，转化为指数式为x＝23＝8，所以x－12＝8－12＝1812＝18＝122＝24.答案：249．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)53＝125；-7-(2)4－2＝116；(3)log128＝－3；(4)log3127＝－3.解：(1)因为53＝125，所以log5125＝3.(2)因为4－2＝116，所以log4116＝－2.(3)因为log128＝－3，所以12－3＝8.(4)因为log3127＝－3，所以3－3＝127.10．若log12x＝m，log14y＝m＋2，求x2y的值．解：因为log12x＝m，所以12m＝x，x2＝122m.因为log14y＝m＋2，所以14m＋2＝y，y＝122m＋4.所以x2y＝122m122m＋4.