2020版高考数学大二轮复习 7.2 概率、随机变量及其分布列学案 理

-1-第2讲概率、随机变量及其分布列考点1古典概型与几何概型1．古典概型的概率公式P(A)＝mn＝事件A中所含的基本事件数试验的基本事件总数.2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[例1](1)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和“阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B.1132C.2132D.1116(2)[2019·郑州一模]已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足MB→·MC→≥0的概率是()A.π4B.4－π4C.π2D.π－24【解析】(1)本题主要考查古典概型、计数原理等知识，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C36＝6×5×46＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝2064＝516.故选A.(2)由MB→·MC→≥0，知∠BMC为锐角或直角，则点M所在的区域如图中阴影部分所示，则所求概率P＝1－12×π×224×2＝1－π4＝4－π4，故选B.-2-【答案】(1)A(2)B解答几何概型、古典概型问题时的策略(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)利用几何概型求概率时，关键是确定构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.『对接训练』1．[2019·辽宁五校协作体联考]某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个篮球的箱子中，任意取出2个球，若取出的2个球颜色相同，则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为()A.15B.310C.25D.35解析：设事件A为“中奖”，则P(A)＝C22＋C23C25＝410＝25.故选C.答案：C2．[2019·山东青岛调研]有一底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点A，则点A到点O的距离大于1的概率为()A.13B.23C.34D.14-3-解析：设点A到点O的距离小于或等于1的概率为P1，则P1＝V半球V圆柱＝2π3×13π×12×2＝13，故点A到点O的距离大于1的概率P＝1－13＝23，故选B.答案：B-4-考点2相互独立事件和独立重复试验1．条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝PABPA.2．相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．3．独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.[例2][2019·全国卷Ⅱ]11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【解析】本题主要考查互斥事件的概率、相互独立事件的概率，意在考查考生的逻辑思维能力、数据获取与处理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算．(1)X＝2就是平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.(1)求复杂事件概率的两种方法①直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．②间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同.-5-『对接训练』3．[2019·河南一诊]某班为了活跃元旦晚会的气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2,3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2,3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．(1)求甲获得奖品的概率；(2)设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．解析：(1)设“甲获得奖品”为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则P(A)＝612×36×23×12＝112.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，则P(X＝1)＝612＝12，P(X＝2)＝612×36＝14，P(X＝3)＝612×36×13＝112，P(X＝4)＝612×36×23＝16.所以随机变量X的分布列为X1234P121411216所以数学期望E(X)＝1×12＋2×14＋3×112＋4×16＝2312.考点3离散型随机变量的分布列、均值与方差1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为实数)．-6-2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．[例3][2019·广东佛山调研]某市对居民用水拟实行阶梯水价，每户用水量不超过w米3的部分按4元/米3收费，超出w米3的部分按10元/米3收费，从该市随机调查了100户家庭，获得了他们某月的用水量，用水量分组为：第一组[0.5,1)，第二组[1,1.5)，…，第八组[4,4.5]，由此得到如下频率分布直方图，并且前四组的频数成等差数列．(1)求a，b，c的值及居民该月用水量在2米3到2.5米3内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上的居民月用水价格为4元/米3，请估计w的值(精确到小数点后两位)；(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3户居民的月用水量，将月用水量不超过2.5米3的户数记为X，求X的分布列及均值．【解析】(1)∵前四组的频数成等差数列，∴所对应的频率也成等差数列，∴可设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，∴0.5(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，得d＝0.1，a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.故居民该月用水量在2米3到2.5米3内的频率为0.25.∴居民该月用水量在2米3到2.5米3内的频数为0.25×100＝25(人)．(2)由图可知，居民月用水量不超过2.5米3的频率为0.70.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/米3，w＝2.5＋0.10.3≈2.83(米3)．(3)将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知P(A≤2.5)＝0.7，则由题意可知X～B(3,0.7)，P(X＝0)＝C03×0.33＝0.027，P(X＝1)＝C13×0.32×0.7＝0.189，P(X＝2)＝C23×0.3×0.72＝0.441，P(X＝3)＝C33×0.73＝0.343.-7-∴X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343∵X～B(3,0.7)，∴E(X)＝2.1.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解.『对接训练』4．[2019·湖南两市联考]某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．一个运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分数之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解析：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)＝1－P(A－B－C－)＝1－13×14×25＝2930.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(A－B－C－)＝130；P(ξ＝1)＝P(AB－C－)＋P(A－BC－)＋P(A－B－C)＝1360；P(ξ＝2)＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝920；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝310.所以ξ的分布列为-8-ξ0123P1301360920310故E(ξ)＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160.课时作业18概率、随机变量及其分布列1．[2019·湖北宜昌联考]某次下课后，某教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2个走出的是女同学的概率是()A.12B.13C.14D.15解析：由题意知共有6个基本事件，第2个走出的是女同学包含2个基本事件，所以第2个走出的是女同学的概率是13.答案：B2．[2019·山东青岛调研]已知某运动员每次投篮投中的概率是40%.现采用随机数法估计该运动员三次投篮中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生0～9中的整数，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．现产生了如下10组随机数；907966191925271431932458569683.估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为()A.15B.35C.310D.910解析：随机模拟产生了10组随机数，在这10组随机数中，表示三次投篮恰有两次投中的有191,271,932，共3组，故所求概率为310，故选C.答案：C3．[2019·广东佛山调研]将一根长为6m的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的2倍的概率为()-9-A.13B.23C.25D.35解析：绳子的长度为6m，剪成两段后，设其中一段的长度为xm，则另一段的长度为(6－x)m，记“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”为事件A，则A＝{x|0x6，x26－x或6－x2x}＝{x|0x2或4x6}，∴P(A)＝23，故选B.答案：B4．[2019·河北九校联考]如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为()A．16.32B．15.32C．8.68D．7.68解析：由题意，可估计椭圆的面积为1－96300×6×4＝16.32.故选A.答案：A5．[2019·广东惠州二调]设随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，若P(ξ＜a－5)＝P(ξ＞a＋1)，则实数a等于()A．7