2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题6 函数、导数、不等式 第1讲 函数的图象与性质、函数与方

-1-第1讲函数的图象与性质、函数与方程[做小题——激活思维]1．(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a＞0，且a≠1)的图象可能是()D[对于函数y＝logax＋12，当y＝0时，有x＋12＝1，得x＝12，即y＝logax＋12的图象恒过定点12，0，排除选项A，C；函数y＝1ax与y＝logax＋12在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.]2．设函数f(x)＝1＋log22－xx＜1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝________.[答案]93．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调函数，则实数k的取值范围是________．[答案](－∞，40]∪[160，＋∞)4．若loga34＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．[答案]0，34∪(1，＋∞)5．若函数f(x)＝a－22x＋1(a∈R)为奇函数，则a＝________.[答案]16．已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞12时，fx＋12＝fx－12，则f(6)＝________.-2-[答案]2[扣要点——查缺补漏]1．函数及其表示(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同．(2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．如T2.2．函数的图象及应用(1)函数图象的判断方法①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到．如T1.(2)利用图象可确定函数的性质、方程与不等式的解等问题．3．函数的性质及应用(1)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．如T5.(2)函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．如T3，T4.(3)函数周期性的常用结论：若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx，则2a是函数f(x)的周期，如T6.4．函数与方程(1)判断函数零点个数的主要方法①解方程f(x)＝0，直接求零点；②利用零点存在性定理；③数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．(2)解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．函数的概念及表示(5年3考)[高考解读]分段函数属高考的重点内容，涉及直接求值、解不等式及已知函数值求参-3-数问题，考查学生分类讨论思想、逻辑推理和数学运算核心素养.1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝1xD[函数y＝10lgx的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2x＋1x＞1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－74B．－54C．－34D．－14切入点：f(a)＝－3.关键点：根据f(a)＝－3求a的值．A[由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.由于2x0，所以2a－1＝－1无解；②若a1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＋1＝8，a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f(6－a)＝－74.故选A.]3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x＞0，则满足f(x)＋fx－121的x的取值范围是________．切入点：f(x)＋fx－12＞1.关键点：正确分类，准确求出f(x)＋fx－12的表达式．－14，＋∞[由题意知，可对不等式分x≤0,0x≤12，x12三段讨论．-4-当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋121，解得x－14，∴－14＜x≤0.当0x≤12时，原不等式为2x＋x＋121，显然成立．当x12时，原不等式为2x＋2x－121，显然成立．综上可知，x－14.][教师备选题]1．(2017·山东高考)设f(x)＝x，0x1，2x－1x≥1.若f(a)＝f(a＋1)，则f1a＝()A．2B．4C．6D．8C[若0a1，由f(a)＝f(a＋1)得a＝2(a＋1－1)，∴a＝14，∴f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6.若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．综上，f1a＝6.故选C.]2．(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝cosπx2，0x≤2，x＋12，－2x≤0，则f(f(15))的值为________．22[由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝－1＋12＝12，所以f(f(15))＝f12＝cosπ4＝22.]对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如fgx的函数求值时，应遵循先内后外的原则.易错提醒：对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每-5-一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.1．(分段函数求值)已知f(x)＝log3x，x＞0，ax＋b，x≤00＜a＜1且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2B．2C．3D．－3B[由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①f(－1)＝a－1＋b＝3，②联立①②，结合0＜a＜1，得a＝12，b＝1，所以f(x)＝log3x，x＞0，12x＋1，x≤0，则f(－3)＝12－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.]2．(分段函数解不等式)已知函数f(x)＝x2＋x，x≥0，－3x，x＜0，若a[f(a)－f(－a)]＞0，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D[易知a≠0，由题意得，当a＞0时，不等式可化为a(a2＋a－3a)＞0，即a2＋a－3a＞0，即a2－2a＞0，解得a＞2或a＜0(舍去)；当a＜0时，不等式可化为a(－3a－a2＋a)＞0，即－3a－a2＋a＜0，即a2＋2a＞0，解得a＜－2或a＞0(舍去)．综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]3．(求参数范围)已知函数f(x)＝1－2ax＋3a，x＜1，2x－1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是________．0，12[当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，∵函数f(x)＝1－2ax＋3a，x＜1，2x－1，x≥1的值域为R，∴当x＜1时，y＝(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1]内的所有实数，-6-则1－2a＞0，1－2a＋3a≥1，解得0≤a＜12.]4．(新定义问题)已知函数f(x)＝21－x0≤x≤1，x－1，1＜x≤2，如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2020(2)＝________.1[∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2020(2)＝f3×673＋1(2)＝f1(2)＝1.]函数的图象及应用(5年8考)[高考解读]高考对函数图象的考查，通常涉及函数的奇偶性、单调性等，考查考生灵活应用知识、分析函数图象与性质的能力，体现了对知识的考查侧重于对理解和应用的考查.角度一：函数图象的识别1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()ABCD切入点：f(x)＝sinx＋xcosx＋x2.关键点：准确把握函数的奇偶性及值域．D[因为f(－x)＝sinxxcosxx2＝－sinx＋xcosx＋x2＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项A.令x＝π，则f(π)＝sinπ＋πcosπ＋π2＝π－1＋π2＞0，排除选项B，C.故选D.]2．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()-7-切入点：f(x)＝ex－e－xx2.关键点：准确把握函数f(x)的奇偶性、单调性．B[因为f(－x)＝e－x－exx2＝－ex－e－xx2＝－f(x)(x≠0)，所以f(x)是定义域上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0,0)中心对称，排除选项A；因为f(1)＝e－1e2，所以排除选项C，D，故选B.]角度二：函数图象的应用3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)切入点：f(x＋1)＜f(2x)．关键点：利用数形结合思想准确画出图象，利用图象的直观性求解，避免分类讨论．D[当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x＋1)f(2x)，则需x＋10，2x0，2xx＋1或x＋1≥0，2x0，所以x0，-8-故选D.]4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝1mxi＝()A．0B．mC．2mD．4m切入点：①f(x)＝f(2－x)；②y＝|x2－2x－3|与函数y＝f(x)图象的交点．关键点：①由题意得出f(x)与y＝|x2－2x－3|的图象关于直线x＝1对称；②关于直线x＝1对称的两点的横坐标之和为2.B[∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．当m为偶数时，i＝1mxi＝2×m2＝m；当m为奇数时，i＝1mxi＝2×m－12＋1＝m.故选B.][教师备选题]1．[一题多解](2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()D[法一：易得函数y＝－x4＋x2＋2为偶函数，y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x＋1)(2x－1)，令y′0，即2x(2x＋1)(2x－1)0，解得x－22或0x22，所以当y′0时，－22x0或x22，所以函数y＝－x4＋x2＋2在－∞，－22，0，22上单调递增，在－22，0，22，＋∞上单调递减，故选D.法二：令x＝0，则y＝2，排除A，B；令x＝12，则y＝－116＋14＋2＝316＋2，排除C.故选D.]-9-2．[一题多解](2017·全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋sinxx2的部分图象大致为()D[法一：当x∈(0,1)时，s