（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题学案

-1-第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题最值问题函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法；(6)导数法等．高考真题思维方法【基本不等式法】(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.(1)略(2)当l⊥x轴时不合题意，[关键1：研究直线l与x轴垂直的情况]故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx－2代入x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)0，即k234时，x1，2＝8k±24k2－34k2＋1，[关键2：设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出A，B两点的横坐标与参数k的关系式]从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1，所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d|PQ|＝44k2－34k2＋1.[关键3：用参数k表示面积]设4k2－3＝t，则t0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，且满足Δ0，[关键4：换元，利用基-2-本不等式求最值]所以，当△OPQ的面积最大时，k＝±72，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.【利用函数的单调性求最值】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(1)略(2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k0).由y＝kx，x24＋y22＝1得x＝±21＋2k2.记u＝21＋2k2，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)．[关键1：巧换元，妙设点P、Q、E的坐标]于是直线QG的斜率为k2，方程为y＝k2(x－u).[关键2：求直线QG的方程]由y＝k2(x－u)，x24＋y22＝1得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.*设G(xG，yG)，则－u和xG是方程*的解，故xG＝u(3k2＋2)2＋k2，由此得yG＝uk32＋k2.[关键3：正确求出G点的坐标](2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值.从而直线PG的斜率为uk32＋k2－uku(3k2＋2)2＋k2－u＝－1k.[关键4：求直线PG的斜率]所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形.②由①得|PQ|＝2u1＋k2，|PG|＝2ukk2＋12＋k2，[关键5：利用弦长公式求出PQ、PG的表达式]所以△PQG的面积S＝12|PQ||PG|＝8k(1＋k2)(1＋2k2)(2＋k2)-3-＝81k＋k1＋21k＋k2.[关键6：将△PQG的面积表示成关于k的函数]设t＝k＋1k，则由k0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝8t1＋2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为169.因此，△PQG面积的最大值为169.[典型例题](2019·安徽宣城二模)已知椭圆C的方程为x24＋y22＝1，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于－1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D.(1)证明：直线BD的斜率为定值；(2)求△ABD面积的最大值．【解】(1)证明：设D(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，直线BD的斜率k＝y2－y1x2－x1，由x214＋y212＝1，x224＋y222＝1，两式相减得y2－y1x2－x1＝－12×x1＋x2y1＋y2，因为kAB＝y1＋y2x1＋x2＝－1，所以k＝y2－y1x2－x1＝12，故直线BD的斜率为定值12.(2)连接OB，因为A，D关于原点对称，所以S△ABD＝2S△OBD，由(1)可知BD的斜率k＝12，设BD的方程为y＝12x＋t，-4-因为D在第三象限，所以－2t1且t≠0，O到BD的距离d＝|t|1＋14＝2|t|5，由y＝12x＋t，x24＋y22＝1，整理得3x2＋4tx＋4t2－8＝0，所以x1＋x2＝－4t3，x1x2＝4(t2－2)3，所以S△ABD＝2S△OBD＝2×12×|BD|×d＝52(x1＋x2)2－4x1x2·2|t|5＝|t|·(x1＋x2)2－4x1x2＝|t|·96－32t23＝423·t2(3－t2)≤22.所以当且仅当t＝－62时，S△ABD取得最大值22.最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)[对点训练](2019·广州市综合检测(一))已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y＝32x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且MF1→·MF2→＝94.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过点(－1，0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值．-5-解：(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，因为点M在直线y＝32x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c，0)，所以点Mc，3c2.因为MF1→·MF2→＝－2c，－32c·0，－32c＝94，所以c＝1.所以1a2＋94b2＝1a2＝b2＋1解得a2＝4b2＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)知，F1(－1，0)，过点F1(－1，0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F2PQ的周长为4a＝8，又S△F2PQ＝12·4a·r(r为△F2PQ的内切圆半径)，所以当△F2PQ的面积最大时，其内切圆面积最大．设直线l的方程为x＝ky－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立x＝ky－1x24＋y23＝1，消去x得(4＋3k2)y2－6ky－9＝0，所以y1＋y2＝6k3k2＋4y1y2＝－93k2＋4，所以S△F2PQ＝12·|F1F2|·|y1－y2|＝12k2＋13k2＋4.令k2＋1＝t，则t≥1，所以S△F2PQ＝123t＋1t，令f(t)＝3t＋1t，则f′(t)＝3－1t2，当t∈[1，＋∞)时，f′(t)0，f(t)＝3t＋1t在[1，＋∞)上单调递增，-6-所以S△F2PQ＝123t＋1t≤3，当t＝1时取等号，即当k＝0时，△F2PQ的面积取得最大值3，结合S△F2PQ12·4a·r，得r的最大值为34，所以△F2PQ的内切圆面积的最大值为916π.范围问题1．几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决．高考真题思维方法(2018·高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.(1)略(2)由(1)可知y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，|y1－y2|＝22(y20－4x0).因此，△PAB的面积S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝324(y20－4x0)32.[关键1：利用根与系数的关系，用P点坐标表示△PAB的面积]因为x20＋y204＝1(－1≤x00)，所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4，5]，因此，△PAB面积的取值范围是62，15104.[关键2：根据半椭圆错误!2.代数法：代数法求范围问题，常需要根据条件构造关于某个变量的不等式或函数表达式，然后利用求解不等式、基本不等式、函数值域(导数与不等式、导数与方程)等方法求出范围，要特别注意变量的取值范围．高考真题思维方法-7-(2016·高考全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.(1)略(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).由y＝k(x－1)，x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，[关键1：分类讨论，当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元得一元二次方程]则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12(k2＋1)4k2＋3.[关键2：利用根与系数的关系及弦长公式求弦长]过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，A到m的距离为2k2＋1，[关键3：利用点到直线的距离公式求距离]所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.[关键4：利用圆中半径、弦长一半、弦心距的关系求弦长]故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.[关键5：用直线斜率k表示四边形MPNQ的面积]可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83).[关键6：利用k20求取值范围]当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.[关键7：分类讨论，直线斜率不存在时四边形MPNQ的面积]综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83).[典型例题](2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别-8-为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝35.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q14，0，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．【解】(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝54a，r2＝34a.在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝r21＋r22－|F1F2|22r1r2＝54a2＋34a2－222×54a×34a＝35，解得a＝2，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)联立方程x24＋y23＝1y＝kx＋m，消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km3＋4k2，x1x2＝4m2－123＋4k2，且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝x1＋x22＝－4km3＋4k2，y0＝kx0＋m＝3m3＋4k2，因