（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第4讲 圆锥曲线中的最值、范围及存在性问题学

-1-第4讲圆锥曲线中的最值、范围及存在性问题[做真题](2019·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率e＝ca＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②x2a2＋y2b2＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2.又由①知y2＝162c2，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．[明考情]与圆锥曲线有关的最值、范围及存在性问题是高考命题的热点，直线或圆锥曲线运动变化时，点、直线、曲线之间的关联受到一定范围的制约，于是便产生了对范围的求解、最值的探求这类问题．最值问题1．几何转化代数法：将常见的几何图形所涉及的结论转化为代数问题求解．常见的几何图形所涉及的结论有：(1)两圆相切时半径的关系；(2)三角形三边的关系式；(3)动点与定点构成线段的和或差的最小值，经常在两点共线的时候取到，注意同侧与异侧；(4)几何法转化-2-所求目标，常用勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等．案例关键步(2019·高考江苏卷)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．(1)(2)略(3)先讨论点P的位置．[关键1：分类讨论，计算分析∠OBP大小不同时，点P的位置情况]当∠OPB90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1Bsin∠P1BD＝P1Bcos∠EBA＝15×35＝9；当∠OBP90°时，在△PP1B中，PBP1B＝15.由上可知，d≥15.[关键2：结合图象得出d的最小值]再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.[关键3：结合图象可判断点Q的坐标]当QA＝15时，CQ＝AQ2－AC2＝152－62＝321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋321(百米).2.函数最值法：结合已知条件，建立某一变量表示的函数，将所求问题转化为函数的最值问题．求函数最值的常用方法有：(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)判别式法；(4)单调-3-性法；(5)三角换元法．案例关键步(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值.(1)略，(2)①略(2)②由①得|PQ|＝2u1＋k2，|PG|＝2ukk2＋12＋k2，所以△PQG的面积S＝12|PQ||PG|＝8k（1＋k2）（1＋2k2）（2＋k2）＝81k＋k1＋21k＋k2.[关键1：用k表示|PQ|、|PG|的长，从而表示面积S]设t＝k＋1k，[关键2：巧妙换元简化运算]则由k0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝8t1＋2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为169.因此，△PQG面积的最大值为169.[典型例题](2019·广州市调研测试)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，点P(3，32)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，求△F1AB的内切圆的半径的最大值．【解】(1)依题意有ca＝12a2＝b2＋c23a2＋34b2＝1，解得a＝2b＝3.c＝1故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△F1AB的内切圆半径为r，-4-由题意知△F1AB的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，所以S△F1AB＝12×4ar＝4r.根据题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，由x24＋y23＝1x＝my＋1，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)0，m∈R，由根与系数的关系得y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，所以S△F1AB＝12|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝12m2＋13m2＋4，令t＝m2＋1，则t≥1，S△F1AB＝12t3t2＋1＝4t＋13t.令f(t)＝t＋13t，则当t≥1时，f′(t)＝1－13t20，f(t)单调递增，所以f(t)≥f(1)＝43，S△F1AB≤3，即当t＝1，m＝0时，S△F1AB取得最大值3，此时rmax＝34.故当直线l的方程为x＝1时，△F1AB的内切圆的半径取得最大值34.最值问题的基本解法(1)几何法：根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)．(2)代数法：建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决．[对点训练](2019·合肥市第二次质量检测)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．解：(1)联立x－y＋1＝0y2＝2px消去x得，y2－2py＋2p＝0，因为直线l：x－y＋1＝0与抛物线C相-5-切，所以Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍去)．所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为ty＝x－1，由ty＝x－1y2＝4x消去x得，y2－4ty－4＝0，Δ＝16t2＋160，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4t，所以x1＋x2＝4t2＋2，所以线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1，2t)．设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dA＋dB＝2d＝2×|2t2－2t＋2|2＝22|t2－t＋1|＝22|(t－12)2＋34|，所以当t＝12时，可使A，B两点到直线l的距离之和最小，距离之和的最小值为322.范围问题1．几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决．案例关键步(2018·高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.(1)略(2)由(1)可知y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，|y1－y2|＝22（y20－4x0）.因此，△PAB的面积S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝324(y20－4x0)32.[关键1：利用根与系数的关系，用P点的坐标表示△PAB的面积]因为x20＋y204＝1(x00)，所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4，5]．因此，△PAB面积的取值范围是62，15104.[关键2：根据半椭圆的范围以及二次函数的性质确定△PAB面积的取值范围]-6-2．用代数法求解范围：代数法求范围问题，常需要根据条件构造关于某个变量的不等式或函数表达式，然后利用求解不等式、基本不等式、函数值域(导数与不等式、导数与方程)等方法求出范围，要特别注意变量的取值范围．案例关键步(2016·高考全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E：x24＋y23＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3＜k＜2.(1)略(2)将直线AM的方程y＝k(x＋2)(k＞0)代入x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.由x1·(－2)＝16k2－123＋4k2，得x1＝2（3－4k2）3＋4k2，故|AM|＝|x1＋2|1＋k2＝121＋k23＋4k2.由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋2)．故同理可得|AN|＝12k1＋k23k2＋4.[关键1：根据弦长公式计算，得出|AM|，|AN|]由2|AM|＝|AN|得23＋4k2＝k3k2＋4，即4k3－6k2＋3k－8＝0.[关键2：根据2|AM|＝|AN|，得出关于k的方程]设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点．f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增．又f(3)＝153－26＜0，f(2)＝6＞0，因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(3，2)内，所以3＜k＜2.[关键3：构造函数，利用函数的单调性和函数的零点存在定理判断k所在的区间][典型例题](2019·广东六校第一次联考)已知椭圆D：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为e＝22，点(－2，1)在椭圆D上．(1)求椭圆D的方程；(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1＋k2＝λk，求实数λ的取值范围．-7-【解】(1)椭圆D的离心率e＝a2－b2a＝22，所以a＝2b，又点(－2，1)在椭圆D上，所以2a2＋1b2＝1，得a＝2，b＝2，所以椭圆D的方程为x24＋y22＝1.(2)由题意得，直线l的方程为y＝kx＋t.联立x24＋y22＝1y＝kx＋t，消元可得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－4kt2k2＋1，x1x2＝2t2－42k2＋1，k1＋k2＝y1x1＋y2x2＝kx1＋tx1＋kx2＋tx2＝2k＋t（x1＋x2）x1x2＝2k＋t·－4kt2k2＋