2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.1.3 方程组的解集教师用书 新人教

-1-2．1.3方程组的解集考点学习目标核心素养二元一次方程组的解法会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组数学运算三元一次方程组的解法会选用合适的消元法求解三元一次方程组数学运算二元二次方程组的解法灵活运用具体方法求解“二·一”型和“二·二”型的二元二次方程组数学运算问题导学预习教材P51－P54的内容，思考以下问题：1．什么是方程组？2．什么是方程组的解集？1．方程组一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．2．方程组的解集方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．■名师点拨当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．由方程组x＋m＝4，y－3＝m可得x与y的关系是()A．x＋y＝1B．x＋y＝－1C．x＋y＝7D．x＋y＝－7解析：选C.由x＋m＝4，①y－3＝m，②，将②代入①得x＋y－3＝4，即x＋y＝7.若|x＋y－5|＋(x－y－9)2＝0，则x，y的值分别为()-2-A．－2，7B．7，－2C．－7，2D．2，－7解析：选B.由题意知x＋y－5＝0，①x－y－9＝0，②①＋②得2x－14＝0，即x＝7，①－②得2y＋4＝0，即y＝－2.方程组x＋6y＝12，3x－2y＝8的解集为________．解析：x＋6y＝12，①3x－2y＝8，②②×3得9x－6y＝24③①＋③得10x＝36，即x＝185，将x＝185代入①得y＝75，所以方程组的解集为（x，y）185，75.答案：（x，y）185，75方程组x＋y－z＝0，①y＋z－x＝7，②z＋x－y＝9③的解集为________．解析：①＋②＋③得x＋y＋z＝16④④－①，得z＝8；④－②，得x＝4.5；④－③，得y＝3.5.所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(4.5，3.5，8)}．答案：{(x，y，z)|(4.5，3.5，8)}二元一次方程组的解法选择合适的方法解下列方程组：(1)2x－y＝3，①3x＋4y＝10.②-3-(2)x＋2y＝3，①3x－4y＝4.②【解】(1)由①，得y＝2x－3，③把③代入②，得3x＋4(2x－3)＝10，解得x＝2.把x＝2代入③，得y＝1.所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．(2)①×2，得2x＋4y＝6，③③＋②，得5x＝10，解得x＝2.把x＝2代入①，得2＋2y＝3，解得y＝12.所以原方程组的解集为（x，y）2，12.解二元一次方程组看系数选方法当方程中有未知数的系数为1(或－1)时，可直接用代入法消元．否则观察相同未知数的系数，当系数互为相反数时，相加消元；当系数相等时，相减消元；当系数既不相等，又不互为相反数时，需要通过变形使同一个未知数的系数相等或互为相反数再相减或相加消元．1．若x，y满足方程组2x＋y＝7，x＋2y＝8，则x＋y的值是()A．5B．－1C．0D．1解析：选A.2x＋y＝7，①x＋2y＝8.②法一：②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.把y＝3代入②，得x＝2.所以x＋y＝2＋3＝5.法二：由①＋②，得3x＋3y＝15.化简，得x＋y＝5.故选A.2．用适当的方法解方程组：3（x＋y）－4（x－y）＝4，①x＋y2＋x－y6＝1.②解：由②×6，得3(x＋y)＋(x－y)＝6.③③－①，得5(x－y)＝2，即x－y＝25.-4-把x－y＝25代入③，得x＋y＝2815.解方程组x＋y＝2815，x－y＝25，得x＝1715，y＝1115.所以原方程组的解集为（x，y）1715，1115.三元一次方程组的解法角度一一般型三元一次方程组的解法解方程组x＋y＋z＝12，①x＋2y＋5z＝22，②x＝4y.③【解】把③分别代入①②，得5y＋z＝12，6y＋5z＝22，解得y＝2，z＝2.把y＝2代入③，得x＝8.所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8，2，2)}．消元法解三元一次方程组的两个注意点(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．角度二轮换型三元一次方程组的解法解方程组x＋y＝3，①y＋z＝5，②z＋x＝4.③【解】①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝12，即x＋y＋z＝6.④④－①，得z＝3；④－②，得x＝1；④－③，得y＝2.所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(1，2，3)}．解三元一次方程组时，应具体问题具体分析，找出其结构特点及系数之间的关系，灵活巧妙地消元．本例中，由于未知数的系数都相同，故采用了整体代入来消元的方法，简化了运算．角度三连等型三元一次方程组的解法-5-解方程组x3＝y4＝z5，①x－y＋2z＝18.②【解】设x3＝y4＝z5＝k(k为常数，k≠0)，则x＝3k，y＝4k，z＝5k.将它们代入②中，得3k－4k＋10k＝18，解得k＝2.所以x＝6，y＝8，z＝10，所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(6，8，10)}．用参数法解连等形式的方程组解连等形式的方程组时，通常采用参数法，用同一个字母表示方程组中各个未知数，根据题目所给的条件一步就可求出字母的值．此外，比例形式的方程也可运用参数法．通过参数法达到消元的目的，使运算更加简便，且不易出错．已知二次函数的图像过点(1，0)，(2，3)，(3，28)，求这个二次函数的解析式．解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，得a＋b＋c＝0，①4a＋2b＋c＝3，②9a＋3b＋c＝28.③②－①，得3a＋b＝3，④③－②，得5a＋b＝25，⑤由④和⑤组成方程组3a＋b＝3，5a＋b＝25.解得a＝11，b＝－30，把a＝11，b＝－30代入①，得11－30＋c＝0，解得c＝19.所以a＝11，b＝－30，c＝19.所以所求函数解析式为y＝11x2－30x＋19.二元二次方程组的解法角度一“二·一”型的二元二次方程组解方程组x2＋2xy＋y2＝4，①x－2y＝5.②【解】法一：由②得x＝2y＋5，③将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4.-6-整理，得3y2＋10y＋7＝0.解得y1＝－73，y2＝－1.把y1＝－73代入③，得x1＝13，把y2＝－1代入③，得x2＝3.所以原方程组的解是x1＝13，y1＝－73，x2＝3，y2＝－1.所以方程组的解集为（x，y）13，－73，（3，－1）.法二：由①得(x＋y)2＝4，即x＋y＝2或x＋y＝－2.原方程组转化为x＋y＝2，x－2y＝5.或x＋y＝－2，x－2y＝5.解得x1＝3，y1＝－1，x1＝13，y2＝－73.所以方程组的解集为（x，y）13，－73，（3，－1）.“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．角度二“二·二”型的二元二次方程组解方程组x2－3xy－4y2＝0，①x2＋4xy＋4y2＝1.②【解】由①得(x－4y)(x＋y)＝0，所以x－4y＝0或x＋y＝0，由②得(x＋2y)2＝1，所以x＋2y＝1或x＋2y＝－1.原方程可化为以下四个方程组：-7-x－4y＝0，x＋2y＝1，x－4y＝0，x＋2y＝－1，x＋y＝0，x＋2y＝1，x＋y＝0，x＋2y＝－1.解这四个方程组，得原方程组的四个解是：x1＝23，y1＝16，x2＝－23，y2＝－16，x3＝－1，y3＝1，x4＝1，y4＝－1.所以方程组的解集为{(x，y)|23，16，－23，－16，(－1，1)，(1，－1)}．解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．1．解方程组x＋y＝8，①xy＝12.②解：法一：由①得y＝8－x，③把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6.把x1＝2代入③，得y1＝6.把x2＝6代入③，得y2＝2.所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，6)，(6，2)}．法二：根据方程中根与系数的关系可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12＝0的两个根，解这个方程，得z1＝2，z2＝6.所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，6)，(6，2)}．2．解方程组x2－y2＝1，①（x－y）2－2（x－y）－3＝0.②解：由②得(x－y－3)(x－y＋1)＝0.所以x－y－3＝0或x－y＋1＝0.-8-所以原方程组可化为两个方程组：x2－y2＝1，x－y－3＝0，x2－y2＝1，x－y＋1＝0.用代入消元法解方程组，分别得x1＝53，y1＝－43，x2＝－1，y2＝0.所以原方程组的解集为{(x，y)|53，－43，(－1，0)}．1．解下列方程组：(1)2x＋5y＝16，①8x－7y＝10；②(2)x＋1＝5（y＋2），x－32＝y＋63.解：(1)由①，得2x＝16－5y，③把③代入②，得4(16－5y)－7y＝10，解得y＝2.把y＝2代入③，得x＝3，所以原方程组的解集为{(x，y)|(3，2)}．(2)x＋1＝5（y＋2），x－32＝y＋63.化简方程组，得x－5y＝9，①3x－2y＝21.②②－①×3，得13y＝－6，解得y＝－613.把y＝－613代入①，得x＝8713.故原方程组的解集为（x，y）|8713，－613.2．解方程组3x－y＋z＝4，①x＋y＋z＝6，②2x＋3y－z＝12.③解：①＋③，得5x＋2y＝16.④②＋③，得3x＋4y＝18.⑤-9-解由④⑤组成的方程组，得x＝2，y＝3.把x＝2，y＝3代入②，得z＝1.所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(2，3，1)}．3．解方程组x2－4y2＋x＋3y－1＝0，①2x－y－1＝0.②解：由②，得y＝2x－1，③把③代入①，整理，得15x2－23x＋8＝0.解这个方程，得x1＝1，x2＝815.把x1＝1代入③，得y1＝1；把x2＝815代入③，得y2＝115.所以原方程组的解集为（x，y）|（1，1），815，115.[A基础达标]1．若方程组2a－3b＝13，3a＋5b＝30.9的解集为{(a，b)|(8.3，1.2)}，则方程组2（