2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法教师用书

-1-2．2.3一元二次不等式的解法考点学习目标核心素养一元二次不等式的解法会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式数学运算分式不等式的解法会将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解数学运算问题导学预习教材P68－P71的内容，思考以下问题：1．一元二次不等式的定义是什么？2．如何用因式分解法解一元二次不等式？3．如何用配方法解一元二次不等式？1．一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0.■名师点拨一元二次不等式中的不等号也可以是“”“≥”“≤”等，即ax2＋bx＋c0(a≠0)，ax2＋bx＋c≥0(a≠0)，ax2＋bx＋c≤0(a≠0)都是一元二次不等式．2．用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1x2，则不等式(x－x1)(x－x2)0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．3．用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2k或(x－h)2k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x＋20是一元二次不等式．()(2)5x2－mx＋20是一元二次不等式．()-2-(3)不等式(x－1)(x－2)0的解集为(1，2)．()答案：(1)×(2)√(3)×不等式－2x2＋x＋30的解集是()A.{x|x－1}B.xx32C.x－1x32D.xx－1或x32解析：选D.法一：因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋1)(2x－3)，所以－(x＋1)(2x－3)0，即(x＋1)(2x－3)0，所以x32或x－1，所以不等式的解集为x|x32或x－1.法二：不等式－2x2＋x＋30可化为2x2－x－30，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝32，又二次函数y＝2x2－x－3的图像开口向上，所以不等式－2x2＋x＋30的解集是xx－1或x32，故选D.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－2x≤0，则A∩B＝()A．{x|－1≤x0}B．{x|0x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}解析：选B.因为A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0x≤2}，所以A∩B＝{x|0x≤1}．解不含参数的一元二次不等式解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－20；(4)－12x2＋3x－50.【解】(1)法一：因为2x2＋7x＋3＝2x2＋72x＋32＝2x＋12(x＋3)，-3-所以2x＋12(x＋3)0，即x－12或x－3，所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞；法二：因为2x2＋7x＋3＝2x2＋72x＋3＝2x＋742－258；所以2x＋742－2580，所以x＋7422516，所以x＋7454或x＋74－54，即x－12或x－3，所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.法三：因为Δ＝72－4×2×3＝250，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(3)原不等式可化为2x2－3x＋20，因为Δ＝9－4×2×2＝－70，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x2－6x＋100，Δ＝(－6)2－40＝－40，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅.解不含参数的一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，-4-则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．解不等式：－2x2－3x≤10.解：原不等式等价于不等式组x2－3x－2①，x2－3x≤10②，不等式①可化为x2－3x＋20，解得x2或x1.不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.故原不等式的解集为{x|－2≤x1或2x≤5}．解含参数的一元二次不等式解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.【解】①当a＝0时，原不等式即为－x＋10，解得x1.②当a0时，原不等式化为x－1a(x－1)0，解得x1a或x1.③当a0时，原不等式化为x－1a(x－1)0.若a＝1，即1a＝1时，不等式无解；若a1，即1a1时，解得1ax1；若0a1，即1a1时，解得1x1a.综上可知，当a0时，不等式的解集为xx1a或x1；当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x1ax1.含参一元二次不等式的解法-5-解关于x的不等式x2＋x－a(a－1)0，(a∈R)．解：因为关于x的不等式x2＋x－a(a－1)0，所以(x＋a)(x＋1－a)0，当－aa－1，即a12时，xa－1或x－a，当a－1－a，即a12时，x－a或x＞a－1，当a－1＝－a，即a＝12时，x≠－12，所以当a12时，原不等式的解集为{x|xa－1或x－a}；当a12时，原不等式的解集为{x|x－a或xa－1}；当a＝12时，原不等式的解集为xx≠－12，x∈R.解简单的分式不等式解下列不等式：(1)x＋23－x≥0；(2)2x－13－4x1.【解】(1)原不等式等价于（x＋2）（3－x）≥0，3－x≠0，即（x＋2）（x－3）≤0，x≠3⇒－2≤x3.所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜3}．(2)原不等式可化为2x－13－4x－10，即3x－24x－30.等价于(3x－2)(4x－3)0.-6-所以23x34.所以原不等式的解集为x|23x34.(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．(2)分式不等式的4种形式及解题思路①f（x）g（x）0⇔f(x)g(x)0；②f（x）g（x）0⇔f(x)g(x)0；③f（x）g（x）≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)0或f(x)＝0；④f（x）g（x）≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)0或f(x)＝0.(3)不等式与不等式组的同解关系①f(x)g(x)≥0⇔f（x）≥0，g（x）≥0或f（x）≤0，g（x）≤0，②f(x)g(x)≤0⇔f（x）≥0，g（x）≤0或f（x）≤0，g（x）≥0，③f(x)g(x)0⇔f（x）0，g（x）0或f（x）0，g（x）0，④f(x)g(x)0⇔f（x）0，g（x）0或f（x）0，g（x）0.不等式x＋5（x－1）2≥2的解是()A.－3，12B.－12，3C.12，1∪(1，3]D.－12，1∪(1，3]解析：选D.x＋5（x－1）2≥2⇔x＋5≥2（x－1）2，x－1≠0⇔－12≤x≤3，x≠1，所以x∈－12，1∪(1，3]．1．不等式3x2－7x＋20的解集为()-7-A.x13x2B.xx13或x2C.x－12x－13D.{x|x2}解析：选A.因为3x2－7x＋2＝(x－2)(3x－1)0，所以13x2.2．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是()A.23，2B.－∞，23∪[2，＋∞)C.32，2D.－23，2解析：选A.原不等式等价于x－23(x－2)≤0，解得23≤x≤2，故选A.3．不等式4x＋23x－10的解集是()A.x|x13或x－12B.x|－12x13C.x|x13D.x|x－12解析：选A.4x＋23x－10⇔(4x＋2)(3x－1)0⇔x13或x－12，故不等式的解集为x|x13或x－12.4．不等式5－xx＋4≥1的解集为________．解析：因为5－xx＋4≥1等价于1－2xx＋4≥0，所以2x－1x＋4≤0，等价于（2x－1）（x＋4）≤0，x＋4≠0，解得－4x≤12.答案：－4，12[A基础达标]1．不等式x(2－x)0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(0，2)解析：选D.原不等式化为x(x－2)0，故0x2.-8-2．设a－1，则关于x的不等式a(x－a)x－1a0的解集为()A.x|xa或x1aB．{x|xa}C.x|xa或x1aD.x|x1a解析：选A.因为a－1，所以a(x－a)x－1a0⇔(x－a)x－1a0.又a－1，所以1aa，所以x1a或xa.3．使代数式17－6x－x2有意义的x的取值范围是()A．[－7，1]B．(－7，1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：选B.由7－6x－x20，得x2＋6x－70，即(x＋7)(x－1)0，所以－7x1，故选B.4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)0的实数x的取值范围为()A．(0，2)B．(－2，1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1，2)解析：选B.由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－20，所以－2x1.5．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为________．解析：由(x－1)(2－x)≥0可知，(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集为[1，2]．答案：[1，2]6．不等式2x－3x＋51的解集为________．解析：2x－3x＋51⇒2x－3x＋5－10⇒（2x－3）－（x＋5）x＋50⇒x－8x＋50⇒(x－8)(x＋5)0⇒x8或x－5.答案：(－∞，－5)∪(8，＋∞)-9-7．若0a1，则不等式(a－x)x－1a0的解集是________．解析：原不等式即(x－a)x－1a0，由0a1，得a1a，所以ax1a.所以不等式的解集为x|ax1a.答案：x|ax1a8．解下列不等式：(1)2＋3x－2x20；(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；(3)x2－2x＋30.解：