2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用（第2课时

-1-第2课时均值不等式的应用考点学习目标核心素养证明不等式会利用均值不等式证明不等式问题逻辑推理解决实际问题会利用均值不等式解决与函数y＝ax＋bx有关的实际问题数学建模解决恒成立问题会将不等式的恒成立问题，通过分离参数转化为均值不等式问题求解逻辑推理、数学运算利用均值不等式证明不等式已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：1a－11b－11c－1≥8.【证明】因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，所以1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1a－11b－11c－1≥2bca·2acb·2abc＝8.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9.证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc-2-＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．利用均值不等式证明不等式的思路利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．1．已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.证明：因为a，b都是正实数，且ab＝2，所以2a＋b≥22ab＝4，所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab＝5＋2a＋b≥5＋4＝9.即(1＋2a)(1＋b)≥9.2．已知a，b，c＞0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.证明：因为a，b，c＞0，所以利用均值不等式可得a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，所以a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．利用均值不等式解实际应用题某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？【解】设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意可知，面粉的保管费等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)(元)．设平均每天所支付的总费用为y元，则y＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝9x＋900x＋10809≥29x·900x＋10809＝10989(元)，-3-当且仅当9x＝900x，即x＝10时，等号成立．故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．利用均值不等式解决实际问题的思路利用均值不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax＋bx≥2ab(a0，b0，x0)上靠拢．1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，且x0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：582．用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm、宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym2.由xy≤x＋y2＝182＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.均值不等式的综合问题不等式9x＋a2x≥a＋1(常数a＞0)，对一切正实数x成立，求a的取值范围．【解】常数a＞0，若9x＋a2x≥a＋1对一切正实数x成立，则a＋1≤9x＋a2x的最小值，又9x＋a2x≥6a，当且仅当9x＝a2x，-4-即x＝a3时，等号成立．故必有6a≥a＋1，解得a≥15.所以a的取值范围为a≥15.(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值．[注意]f(x)表示有关x的代数值．已知不等式(x＋y)4x＋ay≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．1B．2C．4D．6解析：选C.(x＋y)4x＋ay＝4＋a＋4yx＋axy，因为x＞0，y＞0，a＞0，所以4yx＋axy≥24yx·axy＝4a，当且仅当4yx＝axy时取等号．由已知可得4＋a＋4a≥16，即a＋4a－12≥0，解得a≥2或a≤－6(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.1．若a，b∈R，则判断大小关系a2＋b2________2|ab|.()A．≥B．＝C．≤D．＞解析：选A.由均值不等式得a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．解析：每年购买次数为400x次．所以总费用＝400x·4＋4x≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x，即x＝20时等号成立．答案：20-5-3．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.证明：由a，b，c，d都是正数，得ab＋cd2≥ab·cd，ac＋bd2≥ac·bd，所以（ab＋cd）（ac＋bd）4≥abcd，即(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd.[A基础达标]1．设a0，b0，则下列不等式中不一定成立的是()A．a＋b＋1ab≥22B.2aba＋b≥abC.a2＋b2ab≥a＋bD．(a＋b)1a＋1b≥4解析：选B.因为a0，b0，所以a＋b＋1ab≥2ab＋1ab≥22，当且仅当a＝b且2ab＝1ab，即a＝b＝22时取等号，故A成立．因为a＋b≥2ab0，所以2aba＋b≤2ab2ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2aba＋b≥ab不一定成立，故B不成立．因为2aba＋b≤2ab2ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，a2＋b2a＋b＝（a＋b）2－2aba＋b＝a＋b－2aba＋b≥2ab－ab，当且仅当a＝b时取等号，所以a2＋b2a＋b≥ab，所以a2＋b2ab≥a＋b，故C一定成立．因为(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选B.2．若0ab，a＋b＝1，则a，12，2ab中最大的数为()A．aB．2abC.12D．无法确定解析：选C.因为0ab，a＋b＝1，所以a12，-6-因为aba＋b22＝14，所以2ab12，则a，12，2ab中最大的数为12，故选C.3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件解析：选B.设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.当且仅当800x＝x8(x0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.4．已知ab，则b－a＋1b－a＋b－a的最小值为()A．3B．2C．4D．1解析：选A.因为ab，所以b－a0，由均值不等式可得b－a＋1b－a＋b－a＝1＋1b－a＋(b－a)≥1＋21b－a·（b－a）＝3，当且仅当1b－a＝b－a(ba)，即当b－a＝1时，等号成立，因此，b－a＋1b－a＋b－a的最小值为3，故选A.5．已知a0，b0，2a＋1b＝16，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为()A．8B．7C．6D．5解析：选C.由已知，可得62a＋1b＝1，所以2a＋b＝62a＋1b·(2a＋b)＝65＋2ab＋2ba≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2ab＝2ba，即a＝b＝18时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.6．已知y＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．-7-解析：y＝4x＋ax≥24x·ax＝4a(x0，a0)，当且仅当4x＝ax，即x＝a2时等号成立，此时y取得最小值4a.又由已知x＝3时，ymin＝4a，所以a2＝3，即a＝36.答案：367．若a＜1，则a＋1a－1与－1的大小关系是________．解析：因为a＜1，即1－a0，所以－a－1＋1a－1＝(1－a)＋11－a≥2（1－a）·11－a＝2.当且仅当1－a＝11－a，即a＝0时取等号．所以a－1＋1a－1≤－2，即a＋1a－1≤－1.答案：a＋1a－1≤－18．(2019·扬州期末)如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．解析：如图所示，连接OC，设|OB|＝x(0x4)，则|BC|＝|OC|2－|OB|2＝16－x2，|AB|＝2|OB|＝2x，所以，由均值不等式可得，矩形ABCD的面积为S＝|AB|·|BC|＝2x·16－x2＝2（16－x2）x2≤(16－x2)＋x2＝16，当且仅当16－x2＝x2时，即当x＝22时，等号成立，-8-答案：169．已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，所以yx＋zx≥2yzx＞0，xy＋zy≥2xzy＞0，xz＋yz≥2xyz＞0，所以yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xyxyz＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．10．已知a＞b＞c且2a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，求实数m的最大值．解：由题意，a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，又2a－b＋1b－c≥ma－c，即2（a－c）a－b＋a－cb－c≥m，即2（a－b＋b－c）a－b＋a－b＋b－cb－c≥m，因为2＋2（b－c）a－b＋1＋a－bb－c≥3＋22(当且仅当a－b＝2(b－c)时取等号)，所以m≤3＋22，所以实数m的最大值为3＋22.[B能力提升]11．若实数x0，y0，且x＋4y＝xy，则x＋y的最小值为()A．7B．8C．9D．10解析：选C.根据题意，实数x0，y0，若x＋4y＝xy，则1y＋4x＝1，x＋y＝(x＋y)1y＋4x＝xy＋4yx＋5≥2xy×4yx＋5＝9，当且仅当x＝2y，即x＝6，y＝3时等号成立，即x＋y的最小值为9，故选C.12．已知a＞0，b＞0，若不等式2a＋1b≥m2a＋b恒成立，则m的最大值等于()A．10B．9-9-C．8D．7解析：选B.因为a＞0，b＞0，所以2a＋1b≥m2a＋b⇔2（2a＋b）a＋2a＋bb＝5＋2ba＋2ab≥m，由a＞0，b＞0得，2ba＋2ab≥22ba·2ab＝4(当且仅当a＝b时取“＝”)．所以5＋2ba＋2ab≥9，所以m≤9.故选B.1