2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性

-1-2．1等式性质与不等式性质考点学习目标核心素养不等关系的表示会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系数学建模数(式)大小比较会运用作差法比较两个数或式的大小逻辑推理不等式的性质掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题逻辑推理问题导学预习教材P37－P42，并思考以下问题：1．如何比较两个实数的大小？2．等式的基本性质有哪些？3．不等式的基本性质有哪些？1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab，反过来也对．(2)符号表示a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔ab.■名师点拨符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．2．常用的不等式的基本性质性质1ab⇔ba；性质2ab，bc⇒ac；性质3如果ab，那么a＋cb＋c；性质4如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc；性质5如果ab，cd，那么a＋cb＋d；性质6如果ab0，cd0，那么acbd；性质7如果ab0，那么anbn(n∈N，n≥2)．-2-■名师点拨对不等式性质的五点说明(1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识．(2)性质3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”．(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．(5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.()(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(3)若ab或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(4)若a＋cb＋d，则ab，cd.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是()A．x＋y120B．x＋y120C．x＋y≥120D．x＋y≤120答案：C已知ab，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是()A．ad＞bcB．ac＞bdC．a－c＞b－dD．a＋c＞b＋d解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的性质5知，D一定成立．若x1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________．解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，又因为x1，所以x－10，x－20，所以(x－1)(x－2)0，所以MN.答案：MN-3-用不等式(组)表示不等关系(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为________．(2)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系．【解】(1)因为该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x408.故填72＋12x＞408.(2)由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0x≤18，这时菜园的另一条边长为30－x2＝15－x2(m)．因此菜园面积S＝x15－x2，依题意有S≥110，即x15－x2≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为0x≤18，x15－x2≥110.1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过11m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？解：因为矩形的另一边15－x2≤11，所以x≥8，又0x≤18，且x≤11，所以8≤x≤11.2．本例(2)中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？解：函数S＝x15－x2的对称轴方程为x＝15，令S≥110，x∈N，经检验当x＝13，14，15，16，17时S≥110.利用不等式表示不等关系时的注意点(1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．1．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如-4-下估计：理论考试成绩x超过85分，技能操作成绩y不低于90分，答辩面试成绩z高于95分，用不等式组表示为()A.x85y≥90z≥95B.x≥85y90z95C.x85y≥90z95D.x≥85y90z≥95解析：选C.x超过85分表示为x85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z95，故选C.2．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t28000.答案：4.5t28000数(式)大小的比较(1)比较3x3与3x2－x＋1的大小．(2)已知a≥1，试比较M＝a＋1－a和N＝a－a－1的大小．【解】(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．当x≤1时，有x－1≤0，而3x2＋10.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.当x1时，(3x2＋1)(x－1)0，所以3x33x2－x＋1.(2)因为a≥1，所以M＝a＋1－a0，N＝a－a－10.所以MN＝a＋1－aa－a－1＝a＋a－1a＋1＋a.因为a＋1＋aa＋a－10，所以MN1，所以MN.利用作差法比较大小的四个步骤(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．-5-(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．(4)作出结论．[注意]上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．1．若x∈R，y∈R，则()A．x2＋y22xy－1B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y22xy－1D．x2＋y2≤2xy－1解析：选A.因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋10，所以x2＋y22xy－1，故选A.2．已知xy0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)，因为xy0，所以x－y0，x＋y0，x＋2y0，所以(x3－2y3)－(xy2－2x2y)0，即x3－2y3xy2－2x2y.3．比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝12且z＝1时取到等号．不等式的基本性质(1)对于实数a，b，c，有下列说法：①若ab，则acbc；②若ac2bc2，则ab；③若ab0，则a2abb2；其中正确的是________(填序号)．(2)若cab0，求证：ac－abc－b.【解】(1)①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．②中，由ac2bc2，知c≠0，故c20，所以ab成立，故②正确．-6-③中，ab，a0⇒a2ab，a＜b，b0⇒abb2，所以a2abb2，故③正确．故填②③.(2)证明：因为ab0⇒－a－b⇒c－ac－b.因为ca，所以c－a0，所以0c－ac－b.上式两边同乘1（c－a）（c－b），得1c－a1c－b0.又因为ab0，所以ac－abc－b.利用不等式的性质证明不等式的方法(1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．(2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．1．给出下列命题：①ab⇒a2b2；②a2b2⇒ab；③ab⇒ba1；④ab⇒1a1b.其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选A.由性质7可知，只有当ab0时，a2b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a0且ab时，ba1才成立，故③错误；当a0，b0时，1a＞1b，故④错误．2．已知ab0，求证：abba.证明：因为ab0，所以ab0.①又因为ab0，两边同乘正数1ab，得1b1a0.②①②两式相乘，得abba.利用不等式性质求代数式的取值范围已知－1x4，2y3.-7-(1)求x－y的取值范围；(2)求3x＋2y的取值范围．【解】(1)因为－1x4，2y3，所以－3－y－2，所以－4x－y2.(2)由－1x4，2y3，得－33x12，42y6，所以13x＋2y18.1．若将本例条件改为－1xy3，求x－y的取值范围．解：因为－1x3，－1y3，所以－3＜－y1，所以－4x－y4.又因为xy，所以x－y0，所以－4x－y0.2．若将本例条件改为－1x＋y4，2x－y3，求3x＋2y的取值范围．解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则m＋n＝3，m－n＝2，所以m＝52，n＝12.即3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，又因为－1x＋y4，2x－y3，所以－5252(x＋y)10，112(x－y)32，所以－3252(x＋y)＋12(x－y)232，即－323x＋2y232.利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．[注意]求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．1．若－1αβ1，则下列各式中恒成立的是()A．－2α－β＜0B．－2α－β－1C．－1α－β0D．－1α－β1-8-解析：选A.由－1α1，－1β1，得－1－β1，所以－2α－β2.又因为αβ，故－2α－β0.2．已知12a60，15＜b36，求a－b与ab的取值范围．解：因为15b36，所以－36－b－15，所以12－36a－b60－15，即－24a－b45.因为1361b115，所以1236ab6015，所以13ab4.1．已知b2a，3dc，则下列不等式一定成立的是()A．2a－cb－3dB．2ac3bdC．2a＋cb＋