2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的性质与图象教师用书 新

-1-5．4.3正切函数的性质与图象考点学习目标核心素养正切函数的定义域与值域掌握正切函数的定义域、值域数学抽象正切函数的单调性及应用会利用正切函数图象研究其单调性，并利用单调性解决其相应问题直观想象、逻辑推理正切函数的周期性与奇偶性掌握正切函数的周期性及奇偶性逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P209－P212，并思考以下问题：1．如何借助单位圆画正切函数图象？2．正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？3．正切函数在定义域内是不是单调函数？函数y＝tanx的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域xx≠π2＋kπ，k∈Z值域R最小正周期π奇偶性奇函数单调性在开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上都是增函数-2-对称性对称中心kπ2，0(k∈Z)■名师点拨(1)正切函数在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数，无单调递减区间．(2)画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指(－π4，－1)，(0，0)，(π4，1)，“两线”是指x＝－π2和x＝π2，大致画出正切函数在(－π2，π2)上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数在整个定义域上是增函数．()(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．()(4)存在某个区间，使正切函数为减函数．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×函数f(x)＝tanx＋π6的定义域是()A.x|x∈R，x≠kπ－π2，k∈ZB．{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}C.x|x∈R，x≠kπ＋π6，k∈ZD.x|x∈R，x≠kπ＋π3，k∈Z答案：D函数y＝tan2x＋π4的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．3π答案：A函数f(x)＝tanx在[－π3，π4]上的最小值为________．答案：－3-3-函数y＝tanx－π4的单调递增区间是________．答案：(－π4＋kπ，3π4＋kπ)，k∈Z正切函数的定义域、值域(1)函数y＝tan(2x－π4)的定义域是________．(2)函数y＝tan2x＋4tanx－1的值域是________．【解析】(1)因为2x－π4≠π2＋kπ(k∈Z)⇒x≠3π8＋kπ2(k∈Z)，所以定义域为{xx≠kπ2＋3π8，k∈Z}．(2)令t＝tanx，则t∈R，故y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，所求的值域为[－5，＋∞)．【答案】(1)xx≠kπ2＋3π8，k∈Z(2)[－5，＋∞)求正切函数定义域的方法(1)①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠π2＋kπ，k∈Z.②求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋π2，k∈Z，解得x.(2)求正切函数值域的方法①对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．②对于与y＝tanx相关的二次函数，可以把tanx看成整体，利用配方法求值域．1．函数y＝3tan(π＋x)，－π4x≤π6的值域为________．解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tanx，因为正切函数在(－π4，π6]上是增函数，所以－3y≤3，所以值域为(－3，3]．-4-答案：(－3，3]2．函数y＝lg(3－tanx)的定义域为________．解析：因为3－tanx＞0，所以tanx＜3.又因为tanx＝3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)，根据正切函数图象，得kπ－π2＜x＜kπ＋π3(k∈Z)．答案：x|kπ－π2＜x＜kπ＋π3，k∈Z正切函数的单调性及其应用(1)求y＝tan12x＋π4的单调区间．(2)比较tan65π与tan－137π的大小．【解】(1)由题意，kπ－π212x＋π4kπ＋π2，k∈Z，即kπ－3π412xkπ＋π4，k∈Z，所以2kπ－3π2x2kπ＋π2，k∈Z，故单调递增区间为2kπ－3π2，2kπ＋π2(k∈Z)．(2)tan65π＝tanπ＋π5＝tanπ5，tan－137π＝－tan137π＝－tan2π－π7＝－tan－π7＝tanπ7，因为－π2＜π7＜π5＜π2，y＝tanx在－π2，π2上单调递增，所以tanπ7＜tanπ5，-5-即tan65π＞tan－137π.(变条件)本例(1)中函数变为y＝tan(－12x＋π4)，求该函数的单调区间．解：y＝tan(－12x＋π4)＝－tan(12x－π4)，由kπ－π212x－π4kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－π2x2kπ＋32π，k∈Z，所以函数y＝tan(－12x＋π4)的单调递减区间是(2kπ－π2，2kπ＋32π)，k∈Z.(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω＞0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．②若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．1．函数f(x)＝13tanπ2x＋π4的单调递增区间为()A.2k－32，2k＋12，k∈ZB.2k－12，2k＋12，k∈ZC.4k－12，4k＋12，k∈ZD.4k－32，4k＋12，k∈Z-6-解析：选A．由kπ－π2π2x＋π4kπ＋π2(k∈Z)得2k－32x2k＋12(k∈Z)．故f(x)的单调递增区间为2k－32，2k＋12(k∈Z)．2．函数y＝tanx2＋π4，x∈0，π6的值域是________．解析：因为x∈0，π6，所以x2＋π4∈π4，π3，所以tanx2＋π4∈(1，3)．答案：(1，3)正切函数奇偶性和周期性的应用画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．【解】由y＝|tanx|，得y＝tanx，kπ≤xkπ＋π2（k∈Z），－tanx，－π2＋kπxkπ（k∈Z），其图象如图所示．由图象可知，函数y＝|tanx|是偶函数，单调递增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间为(－π2＋kπ，kπ](k∈Z)，周期为π.正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．-7-已知函数y＝tan(ωx＋π4)(ω0)的周期为π2，求该函数的定义域、值域，并判断奇偶性．解：y＝tan(ωx＋π4)(ω0)的周期为π|ω|＝π2，解得ω＝2或ω＝－2.因为ω0，所以ω＝－2，故y＝tan(－2x＋π4)＝－tan(2x－π4)．由2x－π4≠kπ＋π2(k∈Z)，解得x≠kπ2＋3π8(k∈Z)，所以该函数的定义域为{x|x≠kπ2＋3π8，k∈Z}，值域为R.由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．1．函数f(x)＝|tan2x|是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数解析：选D.f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan2x|＝f(x)为偶函数，T＝π2.2．比较大小：tan13π4________tan17π5.解析：因为tan13π4＝tanπ4，tan17π5＝tan2π5，又0π42π5π2，y＝tanx在0，π2内单调递增，所以tanπ4tan2π5，即tan13π4tan17π5.答案：3．求函数y＝tan(3x－π3)的定义域、周期，并指出它的单调区间．解：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－π3≠kπ＋π2(k∈Z)，得x≠kπ3＋5π18(k∈Z)，-8-所以函数的定义域为{x|x≠kπ3＋5π18，k∈Z}．函数的周期T＝π3.令kπ－π23x－π3kπ＋π2(k∈Z)，即kπ3－π18xkπ3＋5π18(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为(kπ3－π18，kπ3＋5π18)(k∈Z)，不存在单调递减区间．[A基础达标]1．当x∈(－π2，π2)时，函数y＝tan|x|的图象()A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．无法确定解析：选B.函数y＝tan|x|，x∈(－π2，π2)是偶函数，其图象关于y轴对称．故选B.2．与函数y＝tan(2x－π4)的图象不相交的一条直线是()A．x＝π2B．x＝－π2C．x＝π4D．x＝－π8解析：选D.当x＝－π8时，2x－π4＝－π2，而－π2的正切值不存在，所以直线x＝－π8与函数的图象不相交．3．函数y＝1tanx－π4＜x＜π4的值域是()A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1，＋∞)解析：选B.因为－π4＜x＜π4，所以－1＜tanx＜1，所以1tanx∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.-9-4．函数y＝tan12x－π3在一个周期内的图象是下图中的()解析：选A.由函数周期T＝π12＝2π，排除选项B、D.将x＝23π代入函数解析式中，得tan12×23π－π3＝tan0＝0，故函数图象与x轴的一个交点为23π，0.5．在(0，2π)内，使tanx1成立的x的取值范围为()A.π4，π2B.54π，32πC.π4，π2∩54π，32πD.π4，π2∪54π，32π解析：选D．因为x∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使tanx1成立的x的取值范围为π4，π2∪54π，32π.6．函数y＝tan(π4＋6x)的定义域为________．-10-解析：由π4＋6x≠kπ＋π2(k∈Z)，得x≠kπ6＋π24(k∈Z)．答案：{x|x≠kπ6＋π24，k∈Z}7．函数y＝tan(x2＋π4)，x∈(0，π6)的值域是________．解析：因为0xπ6，则π4x2＋π4π3，所以1tan(x2＋π4)3.答案：(1，3)8．函数f(x)＝tanπ4－x的单调减区间为________．解析：因为f(x)＝tanπ4－x＝－tanx－π4，所以原题即求函数y＝tanx－π4的单调增区间．由kπ－π2x－π4kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π4xkπ＋3π4，k∈Z，即函数f(x)＝tanπ4－x的单调减区间为kπ－π4，kπ＋3π4，k∈Z.答案：kπ－π4，kπ＋3π4，k∈Z9．求函数y＝tan2x的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间．解：设t＝2x，(1)定义域：y＝tan2x＝tant，要使函数y＝tant有意义，必须且只需t≠kπ＋π2，k∈Z，即2x≠kπ＋π2，k∈Z，所以x≠kπ2＋π4，k∈Z.所以函数y＝