2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.1 平均变化率学案 苏教版选修2-2

-1-1.1.1平均变化率学习目标核心素养1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率．(重点)2．了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义．(难点)3．平均变化率的正负．(易混点)1.通过具体的平均变化率问题，培养数学建模素养．2．借助平均变化率的求解，提升数学运算素养.1．函数平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为fx2－fx1x2－x1.2．平均变化率的意义平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示]Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率ΔyΔx可正、可负、可为零．1．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)D[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是()A．4B．4.1C．0.41D．－1.1B[v＝ΔsΔt＝s2.1－s22.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故选B.]3．函数y＝2x＋2在[1,2]上的平均变化率是________．-2-2[2×2＋2－2×1＋22－1＝2.]4．如图所示为物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是__________．①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．③[在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为s0t0，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为s2－s0t1－t0，乙的平均速度为s1－s0t1－t0.因为s2－s0s1－s0，t1－t00，所以s2－s0t1－t0s1－s0t1－t0，故③正确，④错误．]求函数的平均变化率【例1】(1)函数f(x)＝1x在[2,6]上的平均变化率为________．(2)已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．(1)－112[f6－f26－2＝16－126－2＝－112.](2)[解]自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2－f12－1＝2＋12－1＋11＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f5－f35－3＝5＋15－3＋132＝1415.因为121415，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．-3-1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量x2－x1；第二步，求函数值的增量f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率fx2－fx1x2－x1.2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用fx0＋Δx－fx0Δx的形式．1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．－1[kAB＝yA－yBxA－xB＝3－11－3＝－1，由平均变化率的意义知y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为－1.]实际问题中的平均变化率【例2】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.(1)求运动员在第一个0.5s内高度h的平均变化率；(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．[思路探究](1)求函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间[0,0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间[1,2]上的平均变化率．[解](1)运动员在第一个0.5s内高度h的平均变化率为h0.5－h00.5－0＝4.05(m/s)．(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为h2－h12－1＝－8.2(m/s)．实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似，首先求f(x2)－f(x1)，再求比值fx2－fx1x2－x1，当函数解析式没有给定时，先根据实际问题求出函数解析式，再重复上述步骤即可．-4-2．一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范围是________．(0,1][质点在2到2＋Δt之间的平均速度为v＝[2＋Δt2＋1－22＋1]Δt＝4Δt＋Δt2Δt＝4＋Δt，又v≤5，则4＋Δt≤5，所以Δt≤1，又Δt0，所以Δt的取值范围是(0,1]．]平均变化率的应用[探究问题]1．函数y＝f(x)由x1变化到x2时的平均变化率是什么？[提示]fx2－fx1x2－x1.2．平均变化率的大小说明什么意义？[提示]平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化的越快，若平均变化率为负，则表示函数值在减小，若平均变化率为正，表示函数值在增加．【例3】为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25m/s到0m/s花了5s，乙车从18m/s到0m/s花了4s，试比较两辆车的刹车性能．[解]甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m/s2)，乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m/s2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．3．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr3.(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；(2)比较体积V从0L增加到1L和从1L增加到2L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？-5-[解](1)∵V＝43πr3，∴r3＝3V4π，r＝33V4π，即r(V)＝33V4π.(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为r1－r01－0＝33×14π－01≈0.62(dm/L)，函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为r2－r12－1＝33×24π－33×14π≈0.16(dm/L)．显然体积V从0L增加到1L时，半径变化快，这说明气球刚开始膨胀的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢．1．平均变化率对函数而言，即是函数值的改变量与自变量的改变量的比值．即ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.2．平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)所在直线的斜率．3．平均变化率的意义：平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化得越快，绝对值越小，表示函数值变化得越慢．平均变化率的正负只表示变化的方向.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx可以为零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零．()(3)ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx的值为()A．4B．4xC．4＋2Δx2D．4＋2Δx-6-D[ΔyΔx＝21＋Δx2－2×12Δx＝4＋2Δx.]3．质点运动规律s＝2t2＋5，则在时间(2,2＋Δt)中，相应的平均速度等于________．8＋2Δt[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt)2＋8Δt.∴s2＋Δt－s22＋Δt－2＝2Δt2＋8ΔtΔt＝8＋2Δt.]4．已知函数y＝2x2＋3x－5，当x1＝4，且Δx＝1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率ΔyΔx.[解]Δy＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x21＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，所以ΔyΔx＝211＝21.