2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入阶段复习课学案 苏教版选修2-2

-1-第3章数系的扩充与复数的引入第二课数系的扩充与复数的引入复数的概念【例1】复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．[解](1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以x2－3x－30，①log2x－3＝0，②x－30，③由②得x＝4，经验证满足①③式．所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以x2－3x－30，①log2x－3≠0，②x－30，③由①得x3＋212或x3－212.由②得x≠4，由③得x3.所以当x3＋212且x≠4时，z为虚数．-2-处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．1．(1)复数z＝|(3－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为________．(2)设z＝11＋i＋i，则|z|＝________.(1)2－i(2)22[(1)∵(3－i)i＝3i＋1，∴|(3－i)i|＝|3i＋1|＝2，∴z＝2＋i5＝2＋i，∴复数z的共轭复数为2－i.(2)z＝11＋i＋i＝1－i2＋i＝12＋12i，则|z|＝12＝22.]复数的四则运算【例2】(1)若i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋yi的模是________．(2)已知(1＋2i)z＝4＋3i，则zz的值为________．[思路探究](1)先利用复数相等求x，y，再求模；(2)先求z，进而求z，再计算zz.(1)5(2)35＋45i[(1)法一：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以x＋yi＝3＋4ii＝3＋4i－ii－i＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝42＋－32＝5.法二：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以－y＋xi＝3＋4i，所以x＝4，y＝－3，故|x＋yi|＝|4－3i|＝42＋－32＝5.法三：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以(－i)i(x＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i，即x＋yi＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝42＋－32＝5.(2)因为(1＋2i)z＝4＋3i，所以z＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i5＝2－i，所以z＝2＋i，所以zz＝2＋i2－i＝2＋i25＝35＋45i.]-3-(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似．(2)复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．2．(1)复数2－2i1＋i＝________.(2)1＋i1－i2019＝________.(1)－2i(2)－i[(1)2－2i1＋i＝2－2i1－i1＋i1－i＝(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.(2)1＋i1－i2019＝i2019＝i3＝－i.]复数的几何意义【例3】已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，(z)2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m－z|＝1，求|m|的最值．[思路探究](1)设出z，列方程求解；(2)计算出(z)2，z－z2，求出对应点B，C，在坐标系中确定三角形，进而求面积；(3)求出复数m在复平面内对应点的轨迹，利用数形结合法求|m|的最值．[解](1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a2－b2)＋2abi，∴a2＋b2＝2，2ab＝2，∴a＝1，b＝1，或a＝－1，b＝－1.∴z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，(z)2＝－2i，z－z2＝1－i，则A(1,1)，B(0，－2)，C(1，－1)．∴S△ABC＝12·2·1＝1.-4-当z＝－1－i时，(z)2＝－2i，z－z2＝－1－3i，则A(－1，－1)，B(0，－2)，C(－1，－3)，∴S△ABC＝12·2·1＝1.(3)由题知，z＝1＋i，对应点(1,1)在第一象限，|z|＝2，又|m－z|＝|m－(1＋i)|＝1，则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为以(1,1)为圆心，1为半径的圆，所以，|m|最小值＝2－1，|m|最大值＝2＋1.复数可由复平面内的点或向量进行表示(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．(2)复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．3．复数z＝2＋4i1－i(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是________．(－1,3)[z＝2＋4i1－i＝(1＋2i)(1＋i)＝－1＋3i，所以z在复平面内对应点的坐标是(－1,3)．]转化与化归思想【例4】设z∈C，满足z＋1z∈R，z－14是纯虚数，求z.[思路探究]本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋1z＝x＋yi＋1x＋yi＝x＋xx2＋y2＋y－yx2＋y2i，∵z＋1z∈R，∴y－yx2＋y2＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1.-5-又∵z－14＝x＋yi－14＝x－14＋yi是纯虚数，∴x－14＝0，y≠0，∴x＝14，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±154，∴复数z＝14±154i.一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．4．满足z＋5z是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．[解]设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则z＋5z＝x＋yi＋5x＋yi＝x＋5xx2＋y2＋y－5yx2＋y2i，z＋3＝x＋3＋yi.由已知，得y－5yx2＋y2＝0，x＋3＝－y，因为y≠0，所以x2＋y2＝5，x＋y＝－3，解得x＝－1，y＝－2或x＝－2，y＝－1.所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．