2019-2020学年高中数学 第2章 算法初步 1 算法的基本思想学案 北师大版必修3

-1-§1算法的基本思想学习目标核心素养1.通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义及其基本特征．(重点)2.通过分析具体问题，抽象出算法的过程，培养抽象概括能力、语言表达能力和逻辑思维能力．(难点)3.通过算法的学习，进一步让学生体验到数学与现实世界的关系、数学与计算机技术的关系，从而提高学生学习数学的兴趣.1.通过对具体问题过程与步骤的分析，抽象出算法过程，培养数学抽象素养.2.通过分析具体问题提炼算法过程，提升逻辑推理素养.1．算法的概念算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．一般来说，“用算法解决问题”都是可以利用计算机帮助完成的．2．算法的基本思想在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．这种解决问题的思想方法称为算法的基本思想．3．算法的特征(1)确定性：算法的每一步必须是确切定义的，且无二义性，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出．(2)有穷性：一个算法必须在执行有穷次运算后结束．在所规定的时间和空间内，若不能获得正确结果，其算法也是不能被采用的．(3)可行性：算法中的每一个步骤必须能用实现算法的工具——可执行指令精确表达，并在有限步骤内完成，否则这种算法也是不会被采纳的．(4)输入：算法一定要根据输入的初始数据或给定的初值才能正确执行它的每一个步骤．(5)输出：算法一定能得到问题的解，有一个或多个结果输出，达到求解问题的目的，没有输出结果的算法是没有意义的．(6)此外，还要求算法应具有通用性：算法应适用于某一类问题中的所有个体，而不是只能用来解决一个具体问题．思考：求解某一个问题的算法是否是唯一的？任何问题都可设计算法解决吗？[提示]不是，不一定．-2-1．算法的每一步都应该是正确的、能有效执行的，并且能得到明确的结果，这是指算法的()A．有穷性B．确定性C．逻辑性D．不唯一性B[算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．]2．下列四种自然语言叙述中，能称作算法的是()A．在家里一般是妈妈做饭B．在野外做饭叫野炊C．研究函数奇偶性可以按“判断定义域是否关于原点对称，考查f(x)与f(－x)满足的关系”的程序进行D．做饭必须要有米C[只有C项能按一定的程序或步骤完成．]3．下列关于算法的说法中正确的是()A．算法是某个具体的解题过程B．算法执行后可以不产生确定的结果C．解决某类问题的算法不是唯一的D．算法可以无限地操作下去不停止C[算法与一般意义上具体问题的解法，既有区别，又有联系，算法的获得要借助一类问题的求解方法，而这一类具体问题都可以用这种方法来解决，因此A不对；算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效执行，得到确定的结果，而不能含糊其辞或有歧义，所以B不正确；算法的操作步骤必须是有限的，必须在有限的步骤内完成，因此D不对；算法具有不唯一性，C正确．]4．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．[解]第一步，取S＝16π.第二步，计算R＝S4π(由于S＝4πR2)．第三步，计算V＝43πR3.第四步，输出运算结果.算法的概念-3-【例1】下列对算法的理解不正确的是()A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的B．算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤C．算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果D．一个问题只能设计出一个算法D选项判断原因分析A√算法的有限性指包含的步骤是有限的B√算法的明确性是指每一步都是确定的C√算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果D×对于同一个问题可以有不同的算法解答这类问题的方法为特征判断法，主要从以下三方面判断1．看是否满足顺序性．算法实际上就是顺序化的解题过程，是指可以用计算机来解决某一问题的程序或步骤．2．看是否满足明确性．算法的每一步都是确定的，而不是含糊的、模棱两可的．3．看是否满足有限性．一个算法必须在有限步后结束．如果一个解题步骤永远不能结束，那么就永远得不到答案．因此，有始无终的解题步骤不是算法．此外，算法的不唯一性也要考虑到．1．下列语句中是算法的有()①做饭需要刷锅、淘米、加水、加热这些步骤；②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；③方程x2－1＝0有两个实根；④求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最终结果是10.A．1个B．2个C．3个D．4个C[①说明了做饭的步骤；②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方式；④中给出了求1＋2＋3＋4的一个过程，最终得出结果；对于③，并没有说明如何去算，故①②④是算法，③不是算法．]数值型计算问题的算法【例2】写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．-4-[解]法一算法步骤如下：1．移项得x2－2x＝3.①2．①两边同时加1并配方得(x－1)2＝4.②3．②两边开方得x－1＝±2.③4．解③得x＝3或x＝－1.法二1.计算方程的判别式并判断其符号：Δ＝22＋4×3＝160；2．将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝－b±b2－4ac2a，得x1＝3，x2＝－1.设计一个具体问题的算法的步骤1．认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；2．借助有关变量或参数对算法加以表述；3．将解决问题的过程划分为若干步骤；4．用简练的语言将这个步骤表示出来．2．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c＝a2＋b2；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值．其中正确的顺序是()A．①②③B．②③①C．①③②D．②①③D[明确各步骤间的关系即可知D选项正确．]非数值型计算问题的算法[探究问题]1．是不是任何一个算法都有明确的结果？提示：是，因为算法的步骤是明确的和有限的．有时可能需要大量重复的计算，但只要按部就班的去做，总能得到确定的结果．2．做任何一件事情都得有算法吗？提示：不一定，做任何一件事不一定均有结果，而算法要求必须有结果．3．算法与解法的区别与关系．-5-提示：(1)区别解法：解决某一个问题的一种方法，有局限性.算法：解决某一类问题的步骤，有普遍性.(2)关系：一般与特殊，抽象与具体．【例3】各种比赛在计算选手最后得分时，要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高分和最低分，试设计一个找出最高分的算法．[思路探究]对非数值型计算问题的算法要明确过程和限制条件，建立过程模型，通过模型进行算法设计．[解]算法如下：1．先假定第一个为“最高分”；2．将第二个分数与“最高分”比较，如果它比“最高分”还高，就假定这个分数为“最高分”；否则“最高分”不变；3．如果还有其他分数，重复第二步；4．一直到没有可比的分数为止，这时假定的“最高分”就是所有评委打分中的最高分．非数值型计算问题，如：排序、查找、变量变换、文字处理等需先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述.设计具体数学问题的算法，实际上就是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成.3．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均分的一个算法如下，请将其补充完整：1．取A＝89，B＝96，C＝99.2．________.3．________.4．输出计算结果．D＝A＋B＋CE＝D3[因为该算法的功能是求他的总分和平均分，所以“第2步”应为计算总分D＝A＋B＋C，“第3步”应为计算平均分，为E＝D3.]算法与数学中的解法的联系和区别(1)联系算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系，算法的获取要借助一般意义-6-上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决．(2)区别算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称，也可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程.1．思考辨析(1)求解某一类问题的算法是唯一的．()(2)算法执行后一定产生确定的结果．()(3)算法只能解决一个问题，不能重复使用．()(4)算法的步骤必须有限．()[解析](1)×，根据算法特点知求解某一类问题的算法不唯一．(2)√，由算法特征知算法具有确定性．(3)×，算法能解决一类问题且能重复使用．(4)√，由算法的有限性特征知步骤必须有限．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用()A．13分钟B．14分钟C．15分钟D．23分钟C[做④的同时可以做②③，故共可用时2＋10＋3＝15分钟．]3．有以下六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话．试写出打一个本地电话的算法________．(写序号)③②①⑤④⑥[按照拨打电话的顺序设计，同时考虑所有可能的情况．]4．已知平面直角坐标系中的点A(－1,0)，B(3,2)，求直线AB的方程的一个算法如下，请将其补充完整．1．根据题意设直线AB的方程为y＝kx＋b.2．将A(－1,0)，B(3,2)代入第1步所设的方程，得到－k＋b＝0①；3k＋b＝2②.3．________.4．把第3步所得结果代入第1步所设的方程，得到y＝12x＋12.5．将第4步所得结果整理，得到方程x－2y＋1＝0.-7-由第2步中①②得到k＝12，b＝12[第2步列出了关于k，b的方程组，第3步解方程组确定k，b.]