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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2019-2020学年高中数学 第3章 概率 2 2.3 互斥事件学案 北师大版必修3
-1-2.3互斥事件学习目标核心素养1.了解互斥事件的概念及概率加法公式.2.理解互斥事件和对立事件的区别和联系.3.掌握对立事件的概率及概率的计算公式.(难点)4.能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题.(难点)1.通过学习互斥事件的概念及互斥事件和对立事件的区别与联系,培养数学抽象素养.2.通过运用互斥事件,对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题,提升数学运算素养.一、互斥事件1.互斥事件的定义在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.2.事件A与B至少有一个发生给定事件A,B,我们规定A+B为一个事件,事件A+B发生是指事件A和事件B至少有一个发生.根据上述定义推广可得:事件A1+A2+…+An表示在一次随机试验中,事件A1,事件A2,…,事件An中至少有一个发生.3.互斥事件的概率加法公式一般地,如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生(即A,B中至少有一个发生)的概率等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).这个公式称为互斥事件的概率加法公式.如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么事件A1+A2+…+An发生(即A1,A2,…,An中至少有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和,即P(A1+A2+…+A_n)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).二、对立事件及其概率的求法公式1.定义在每一次试验中,如果两个事件A与B不能同时发生,并且一定有一个发生,那么事件A与B称作是对立事件,事件A的对立事件记为A.2.性质-2-P(A)+P(A)=1,即P(A)=1-P(A).思考:(1)在掷骰子的试验中,事件A={出现的点数为1},事件B={出现的点数为奇数},事件A与事件B应有怎样的关系?(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么?[提示](1)因为1为奇数,所以A⊆B.(2)①看两个事件是不是互斥事件;②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件,则是对立事件;否则不是.1.对同一事件来说,若事件A是必然事件,事件B是不可能事件,则事件A与事件B的关系是()A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.不互斥、不对立C[必然事件与不可能事件不可能同时发生,但必有一个发生,故事件A与事件B的关系是互斥且对立.]2.从一批产品中取出三件产品,设A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品有次品,但不全是次品},则下列结论哪个是正确的()A.A与C互斥B.B与C互斥C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥C[由题意可知,事件A,B,C两两不可能同时发生,因此两两互斥.]3.从1,2,3,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③C[从1~9中任取两个数,有以下三种情况.(1)两个均为奇数,(2)两个均为偶数,(3)一个奇数和一个偶数,故③为对立事件.]4.从几个数中任取实数x,若x∈(-∞,-1]的概率是0.3,x是负数的概率是0.5,则x∈(-1,0)的概率是________.0.2[设“x∈(-∞,-1]”为事件A,“x是负数”为事件B,“x∈(-1,0)”为事件C,由题意知,A,C为互斥事件,B=A+C,∴P(B)=P(A)+P(C),P(C)=P(B)-P(A)=0.5-0.3=0.2.]-3-互斥事件与对立事件的判断【例1】某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)恰有1名男生与恰有2名男生;(2)至少1名男生与全是男生;(3)至少1名男生与全是女生.[解]从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果:两男或两女或一男一女.(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生,所以它们是互斥事件但不是对立事件;(2)当恰有2名男生时,至少1名男生与全是男生同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生,所以它们是互斥事件,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.1.判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们能否同时发生.若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件;若不能同时发生,则这两个事件是互斥事件.2.判断两个事件是否为对立事件,主要看是否同时满足两个条件:一是不能同时发生;二是必有一个发生.这两个条件同时成立,那么这两个事件是对立事件,只要有一个条件不成立,那么这两个事件就不是对立事件.1.(1)抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是2的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A.A与BB.B与CC.A与DD.B与D(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则下列结论正确的序号为________.①A与B是互斥而非对立事件;②A与B是对立事件;③B与C是互斥而非对立事件;④B与C是对立事件.(3)从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球,观察红球个数和白球个数,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.-4-①至少有1个白球,都是白球;②至少有1个白球,至少有一个红球;③至少有1个白球,都是红球.[解](1)C(2)④[(1)A与D互斥,但不对立.(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,所得到的基本事件有6种:得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点、得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点.事件A包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为3点、得到的点数为5点,事件B包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点,事件C包含的结果有得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点,所以B与C是对立事件.故填④.](3)解:①不是互斥事件.因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生,所以不是互斥事件.②不是互斥事件.因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”,“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”,两个事件可以同时发生,故不是互斥事件.③是互斥事件也是对立事件.因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生,且必有一个发生,所以是互斥事件也是对立事件.互斥事件的概率【例2】袋中有12个相同的小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512.(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率;(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.[思路探究]从12球中任取一球,取到红球、黑球、白球互斥,所以可用互斥事件概率的加法公式求解.[解](1)从袋中任取一球,记事件A为“得到红球”,B为“得到黑球”,C为“得到黄球”,D为“得到绿球”,则事件A,B,C,D两两互斥.由已知P(A)=13,P(B+C)=P(B)+P(C)=512,-5-P(C+D)=P(C)+P(D)=512,∴P(B+C+D)=1-P(A)=1-13=23.∵B与C+D,B+C与D也互斥,∴P(B)=P(B+C+D)-P(C+D)=23-512=14,P(D)=P(B+C+D)-P(B+C)=23-512=14,P(C)=1-P(A+B+D)=1-(P(A)+P(B)+P(D))=1-13+14+14=1-56=16.故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14,16,14.(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球,∴得到的球是红球或黄球,即事件A+C,∴P(A+C)=P(A)+P(C)=13+16=12,故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为12.1.解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生,即互斥.由此可知用概率加法公式求解.2.若随机试验中,涉及多个事件,应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立),若是,可利用互斥事件概率的加法公式求解.当某一事件包含几个互斥的事件时,求该事件发生的概率也用上述规律.2.(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为()A.0.42B.0.38C.0.2D.0.8(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.2,炸中第二个军火库的概率为0.12,炸中第三个军火库的概率为0.28,三个军火库中,只要炸中一个另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.[解](1)C[记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A,B,C,则A,B,C为互斥-6-事件,且A+B+C为必然事件,由题意知P(A)+P(B)=0.58,P(A)+P(C)=0.62,P(A)+P(B)+P(C)=1,解得P(A)=0.2.](2)设A,B,C分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件,事件D表示军火库爆炸,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.又因为只投掷了一枚炸弹,故不可能炸中两个及以上军火库,所以A,B,C是互斥事件,且D=A+B+C,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即军火库发生爆炸的概率为0.6.对立事件的概率与求法[探究问题]1.若令A=“小明考试及格”,A=“小明考试不及格”,则事件A与事件A能不能同时发生,或者都不发生?为什么?提示:不可能同时发生,由于事件A与A是互斥事件,所以不可能同时发生,事件A与A也不可能都不发生,因为一次考试中,小明的成绩要么及格,要么不及格,二者必居其一,故A与A必有一个发生.2.将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次,观察骰子向上一面的点数.设U=“出现点数的全体”,A=“出现的点数是偶数”,B=“出现的点数是奇数”,则A,U是互斥事件吗?A,B是互斥事件吗?B,U是互斥事件吗?”提示:A,U不是互斥事件,A,B是互斥事件,B,U不是互斥事件.【例3】一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.[思路探究]先设出有关的互斥事件,然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率,另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决.[解]法一:利用等可能事件求概率.(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法,得黑球有4种取法,得红球或黑球共有5+4=9(种)不同取法,任取1球有12种取法.所以任取1球得红球或黑球的概率为P1=912=34.(2)从12个球中任取一球得红球有5种取法,得黑球有4种取法,得白球有2种取法.从而得红球或黑球或白球的概率为P2=5+4+212=1112.法二:利用互斥事件求概率.记事件A1={任取1球为红球};A2={任取1球为黑球};-7-A3={任取1球为白球};A4={任取1球为绿球},则P(A1)=512,P(A2)=412,P(A3)=212,P(A4)=112.根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率公式,得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+412+212=1112.法三利用对立事件求概率的方法.(1)由法二知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出
本文标题:2019-2020学年高中数学 第3章 概率 2 2.3 互斥事件学案 北师大版必修3
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