2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2 基本不等式的应

1第2课时基本不等式的应用题型一利用基本不等式证明不等式[经典例题]例1已知a、b、c0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【解析】∵a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a.当且仅当a2b＝b时等号成立．b2c＋c≥2b2c·c＝2b.当且仅当b2c＝c时等号成立．c2a＋a≥2c2a·a＝2c，当且仅当c2a＝a时等号成立．相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.状元随笔判断a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0→证a2b＋b≥2a→证b2c＋c≥2b→证c2a＋a≥2c→得所证不等式方法归纳(1)在利用a＋b≥2ab时，一定要注意是否满足条件a0，b0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2ab或a＋b2≥ab(a0，b0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．跟踪训练1已知x0，y0，z0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.2证明：因为x0，y0，z0，所以yx＋zx≥2yzx0，xy＋zy≥2xzy0，xz＋yz≥2xyz0，所以yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xyxyz＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．分别对yx＋zx，xy＋zy，xz＋yz用基本不等式⇒同向不等式相乘．题型二利用基本不等式解决实际问题[教材P47例4]例2某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【解析】设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元．根据题意，有z＝150×48003＋120(2×3x＋2×3y)＝240000＋720(x＋y)．由容积为4800m3，可得3xy＝4800.因此xy＝1600.所以z≥240000＋720×2xy，当x＝y＝40时，上式等号成立，此时z＝297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．状元随笔贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了，那么水池的总造价就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低．3教材反思利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．跟踪训练2某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则y＝50n－98－12×n＋nn－12×4＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为yn＝－2n＋49n－20≤－22n·49n－20＝12，当且仅当n＝49n，即n＝7时上式取等号．所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．状元随笔1.盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成．2．利用基本不等式求平均利润．一、选择题1．已知a，b，c，是正实数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为()4A．3B．6C．9D．12解析：∵a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝1a＋1b＋1c(a＋b＋c)＝3＋ab＋ba＋ac＋ca＋bc＋cb≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．答案：C2.3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.92C．3D.322解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，3－aa＋6≤3－a＋a＋62＝92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时，等号成立．答案：B3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为4.5m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A．9.5mB．10mC．10.5mD．11m解析：不妨设直角三角形两直角边长分别为a，b，则ab＝9，注意到直角三角形的周长为l＝a＋b＋a2＋b2，从而l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝6＋32≈10.24，当且仅当a＝b＝3时，l取得最小值．从最节俭的角度来看，选择10.5m.答案：C4．已知函数y＝x－4＋9x＋1(x－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝()A．－3B．2C．3D．8解析：y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5.由x－1，得x＋10，9x＋10，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案：C二、填空题5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润5y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，而x0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：86．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．解析：设xy＝t(t0)，由xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，即t2≥22t＋6，(t－32)(t＋2)≥0，∴t≥32，则xy≥18，当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18.答案：187．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p＋q2%，若pq0，则提价多的方案是________．解析：设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，方案乙：1＋p＋q2%2，因为1＋p%1＋q%≤1＋p%＋1＋q%2＝1＋p＋q2%，且pq0，所以1＋p%1＋q%1＋p＋q2%，即(1＋p%)(1＋q%)1＋p＋q2%2，所以提价多的方案是乙．答案：乙三、解答题8．已知a0，b0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.证明：∵a0，b0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理，1＋1b＝2＋ab，∴1＋1a1＋1b6＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.∴1＋1a1＋1b≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．9．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中ab＝(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？解析：(1)由题可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝(3x－16)y－63＝1832－6x－163y(x6，y6，xy＝1800)．(2)方法一S＝1832－6x－163y≤1832－26x×163y＝1832－480＝1352，当且仅当6x＝163y，xy＝1800，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1352.方法二S＝1832－6x－163×1800x＝1832－6x＋9600x≤1832－26x×9600x＝1832－480＝1352，当且仅当6x＝9600x，即x＝40时取等号，S取得最大值，此时y＝1800x＝45.[尖子生题库]10．已知ab，ab＝1，求证：a2＋b2≥22(a－b)．证明：∵ab，∴a－b0，又ab＝1，∴a2＋b2a－b＝a2＋b2＋2ab－2aba－b＝a－b2＋2aba－b＝a－b＋2a－b≥2a－b·2a－b＝22，即a2＋b2a－b7≥22，即a2＋b2≥22(a－b)，当且仅当a－b＝2a－b，即a－b＝2时取等号．