2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.1.2 函数的最值讲义 新人

1第2课时函数的最值知识点函数的最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值(maximumvalue)．状元随笔最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.[教材解难]1．教材P80思考函数f(x)的最大值包含“最大”和“值”两方面的含义．“最大”是指没有比它更大的，“值”是指一定是函数值．以f(x)＝－x2为例，画出其图象(图略)可以发现：所有函数值都不大于1，但1不是f(x)的某个函数值，因而1不是f(x)的最大值；存在x0使f(x0)＝－1，即－1是f(x)的某个函数值，但－1不是f(x)的函数值中最大的，因此也不是f(x)的最大值．两项要求均满足的函数值只能是0，即函数f(x)＝－x2的最大值为0.2．教材P80思考一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝m.那么，我们称m是函数y＝f(x)的最小值(minimumvalue)[基础自测]1．函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上()A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值解析：函数f(x)＝1x是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故2选A.答案：A2．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为()A．3,5B．－3,5C．1,5D．－5,3解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.答案：B3．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故ymin＝f(－2)．答案：C4．函数f(x)＝2x2－4x＋4有最________值，为________．解析：f(x)＝2x2－4x＋4＝2(x2－2x＋1)＋2＝2(x－1)2＋2答案：小2题型一图象法求函数的最值[经典例题]例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.3观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解析：y＝－|x－1|＋2＝3－x，x≥1，x＋1，x1，图象如图所示．由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．利用x的不同取值先去绝对值，再画图．题型二利用单调性求函数的最大(小值)[教材P81例5]例2已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．【解析】∀x1，x2∈[2,6]，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2[x2－1－x1－1]x1－1x2－1＝2x2－x1x1－1x2－1.由2≤x1x2≤6，得x2－x10，(x1－1)(x2－1)0，于是f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]上单调递减．4因此，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.状元随笔由函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])的图象(如图)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.教材反思1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.跟踪训练2已知函数f(x)＝32x－1，求函数f(x)在[1,5]上的最值．解析：先证明函数f(x)＝32x－1的单调性，设x1，x2是区间12，＋∞上的任意两个实数，且x2x112，f(x1)－f(x2)＝32x1－1－32x2－1＝6x2－x12x1－12x2－1.由于x2x112，所以x2－x10，且(2x1－1)·(2x2－1)0，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)＝32x－1在区间12，＋∞上是单调递减的，所以函数f(x)在[1,5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝32x－1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，5即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝13.1判断函数的单调性.2利用单调性求出最大小值.解题思想方法利用函数最值或分离参数求解恒成立问题例已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2.设1≤x1x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)1－12x1x2，∵1≤x1x2，∴x2－x10,2x1x22，∴012x1x212，1－12x1x20，∴f(x2)－f(x1)0，f(x1)f(x2)．∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上f(x)0恒成立⇔x2＋2x＋a0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a0时，函数f(x)0恒成立，故a－3.【反思与感悟】在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论：af(x)恒成立⇔af(x)max，af(x)恒成立⇔af(x)min.6一、选择题1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是()A．y＝1x＋2B．y＝3x－2C．y＝x2D．y＝1－x解析：B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.答案：A2．函数f(x)＝x＋7，x∈[－1，1，2x＋6，x∈[1，2]，则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对解析：当－1≤x1时，6≤x＋78，当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.答案：A3．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是()A．－1,3B．0,2C．－1,2D．3,2解析：当x∈[－2,2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.答案：C4．已知函数f(x)＝2x＋1x－1，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是()A．f(x)有最大值53，无最小值7B．f(x)有最大值53，最小值75C．f(x)有最大值75，无最小值D．f(x)有最大值2，最小值75解析：f(x)＝2x＋1x－1＝2＋3x－1，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝53，无最小值．故选A.答案：A二、填空题5．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________．解析：当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.答案：26．函数y＝x＋x－1的最小值为________．解析：令x－1＝t，t≥0，则x＝t2＋1，所以y＝t2＋t＋1＝t＋122＋34，当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1.答案：17．函数f(x)＝1x在[1，b](b1)上的最小值是14，则b＝________.解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝1b＝14，所以b＝4.答案：4三、解答题8．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．8(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间－1，12上的最大值．解析：f(x)＝|x|(x＋1)＝－x2－x，x≤0，x2＋x，x0的图象如图所示．(1)f(x)在－∞，－12和[0，＋∞)上是增函数，在－12，0上是减函数，因此f(x)的单调递增区间为－∞，－12，[0，＋∞)；单调递减区间为－12，0.(2)因为f－12＝14，f(12)＝34，所以f(x)在区间－1，12上的最大值为34.9．已知函数f(x)＝2x－1x＋1，x∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的，证明：设任意x1，x2，满足3≤x1x2≤5.因为f(x1)－f(x2)＝2x1－1x1＋1－2x2－1x2＋19＝2x1－1x2＋1－2x2－1x1＋1x1＋1x2＋1＝3x1－x2x1＋1x2＋1，因为3≤x1x2≤5，所以x1＋10，x2＋10，x1－x20.所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以f(x)＝2x－1x＋1在[3,5]上是单调递增的．(2)f(x)min＝f(3)＝2×3－13＋1＝54，f(x)max＝f(5)＝2×5－15＋1＝32.[尖子生题库]10．已知f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．求f(x)的最小值．解析：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，对称轴为x＝a，且函数图象开口向上，如下图所示：当a1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a；当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2；当a－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.综上可知，f(x)的最小值为f(x)min＝3－2a，a12－a2，－1≤a≤13＋2a.a－1