2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.2.1 指数函数的概念讲义 新

1第1课时指数函数的概念最新课程标准：(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点一指数函数的定义函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.状元随笔指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.知识点二指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数状元随笔底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a1时，指数函数的图象是“上升”的；当0a1时，指数函数的图象是“下降”的．2[教材解难]规定底数a0且a≠1的理由(1)如果a＝0，则当x0时，ax恒为0；当x0时，ax无意义.(2)如果a0，比如y＝(－2)x，这时对于x＝12，14，18，116，…在实数范围内函数值不存在．(3)如果a＝1，那么y＝1x＝1是常量，对此就没有研究的必要．[基础自测]1．下列各函数中，是指数函数的是()A．y＝(－3)xB．y＝－3xC．y＝3x－1D．y＝13x解析：根据指数函数的定义y＝ax(a0且a≠1)可知只有D项正确．答案：D2．函数f(x)＝12x－1的定义域为()A．RB．(0，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，0)解析：要使函数有意义，则2x－10，∴2x1，∴x0.答案：B3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝12x的图象之间的关系是()A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.答案：A4．函数f(x)＝1－ex的值域为________．解析：由1－ex≥0得ex≤1，故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}，所以0ex≤1，－1≤－ex0,0≤1－ex1，函数f(x)的值域为[0,1)．答案：[0,1)3题型一指数函数概念的应用[经典例题]例1(1)若函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C.12，1D．(－∞，1)(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点－2，14，那么f(4)·f(2)等于________．【解析】(1)由已知，得02a－11，则12a1，所以实数a的取值范围是12，1.(2)设y＝f(x)＝ax(a0，a≠1)，所以a－2＝14，所以a＝2，所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.【答案】(1)C(2)64(1)根据指数函数的定义可知，底数a0且a≠1，ax的系数是1.(2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点(－2，14)求a，最后求值．方法归纳(1)判断一个函数是指数函数的方法①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a0，且a≠1)这一结构特征．②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练1(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)4①y＝2·(2)x②y＝2x－1③y＝π2x④y＝xx⑤y＝31x⑥y＝x13.解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则3－2a0，3－2a≠1，解得a32且a≠1.(2)①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝12·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：(1)(－∞，1)∪1，32(2)③1.指数函数系数为1.2．底数0且≠1.题型二指数函数[教材P114例1]例2已知指数函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．【解析】因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝π13，于是f(x)＝π3x.所以，f(0)＝π0＝1，f(1)＝π13＝3π，f(－3)＝π－1＝1π.状元随笔要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式，即先求a的值．教材反思求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于1的实数，所以a＝－3应舍去．跟踪训练2若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．解析：设f(x)＝ax(a0，且a≠1)，将点(2,9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)．5所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝13.设f(x)＝ax，代入(2,9)求出a.一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝12x－1；②y＝ax(a0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝122x－1.A．0B．1C．3D．4解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确．答案：B2．已知f(x)＝3x－b(b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(4)的值为()A．3B．6C．9D．81解析：由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，所以f(x)＝3x－2，f(4)＝9.可知C正确．答案：C3．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是()A.1，53B．[－1,1]C.－53，1D．[0,1]解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－53≤f(x)≤1.故选C.答案：C4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是()6解析：需要对a讨论：①当a1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0a1时，f(x)＝ax过原点且斜率小于1，g(x)＝ax是减函数，显然B正确．答案：B二、填空题5．下列函数中：①y＝2·(2)x；②y＝2x－1；③y＝π2x；④y＝31x；⑤y＝x13.是指数函数的是________(填序号)．解析：①中指数式的系数不为1；②中y＝2x－1＝12·2x的系数亦不为1；④中自变量不为x；⑤中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．答案：③6．若指数函数y＝f(x)的图象经过点－2，116，则f－32＝________.解析：设f(x)＝ax(a0且a≠1)．因为f(x)过点－2，116，所以116＝a－2，所以a＝4.所以f(x)＝4x，所以f－32＝432＝18.答案：187．若关于x的方程2x－a＋1＝0有负根，则a的取值范围是________．7解析：因为2x＝a－1有负根，所以x0，所以02x1.所以0a－11.所以1a2.答案：(1,2)三、解答题8．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，求a的值．解析：由指数函数的定义知a2－3a＋3＝1，①a0且a≠1，②由①得a＝1或2，结合②得a＝2.9．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x－1；(2)y＝13222x－.解析：(1)要使y＝21x－1有意义，需x≠0，则21x≠1；故21x－1－1且21x－1≠0，故函数y＝21x－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y＝13222x－的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2.故013222x－≤9，所以函数y＝13222x－的值域为(0,9]．[尖子生题库]10．设f(x)＝3x，g(x)＝13x.(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：8(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝13－1＝3；f(π)＝3π，g(－π)＝13－π＝3π；f(m)＝3m，g(－m)＝13－m＝3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．