2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

1第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式最新课程标准：二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.1.二倍角公式记法公式推导S2αsin2α＝2sin_αcos_αS(α＋β)――→令α＝βS2αC2αcos2α＝cos2α－sin2αC(α＋β)――→令α＝βC2αcos2α＝1－2sin2αcos2α＝2cos2α－1利用cos2α＋sin2α＝1消去sin2α或cos2αT2αtan2α＝2tanα1－tan2αT(α＋β)――→令α＝βT2α状元随笔细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．2．二倍角公式的变形(1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.(2)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2.[教材解难](1)对于S2α和C2α，α∈R，但是在使用T2α时，要保证分母1－tan2α≠0且tanα有意义，即α≠kπ＋π4且α≠kπ－π4且α≠kπ＋π2(k∈Z)．当α＝kπ＋π4及α＝kπ2－π4(k∈Z)时，tan2α的值不存在；当α＝kπ＋π2(k∈Z)时，tanα的值不存在，故不能用二倍角公式求tan2α，此时可以利用诱导公式直接求tan2α.(2)一般情况下，sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.(3)倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin3αcos3α＝12sin6α.[基础自测]1．已知cosα＝－35，则cos2α等于()A.725B．－725C.2425D．－2425解析：cos2α＝2cos2α－1＝－725.答案：B2.12sin15°cos15°的值等于()A.14B.18C.116D.12解析：原式＝14×2sin15°cos15°＝14×sin30°＝18.答案：B3．计算1－2sin222.5°的结果等于()A.12B.22C.33D.32解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝22.答案：B4．已知α为第三象限角，cosα＝－35，则tan2α＝________.解析：因为α为第三象限角，cosα＝－35，所以sinα＝－1－cos2α＝－45，3tanα＝43，tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－432＝－247.答案：－247题型一给值求值[教材P221例5]例1已知sin2α＝513，π4απ2，求sin4α，cos4α，tan4α的值．【解析】由π4απ2，得π22απ.又sin2α＝513，所以cos2α＝－1－5132＝－1213.于是sin4α＝sin[2×(2α)]＝2sin2αcos2α＝2×513×－1213＝－120169；cos4α＝cos[2×(2α)]＝1－2sin22α＝1－2×5132＝119169；tan4α＝sin4αcos4α＝－120169×169119＝－120119.已知条件给出了2α的正弦函数值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．教材反思三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x；4②cos2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x＝2sinπ4－xcosπ4－x.跟踪训练1(1)已知α∈π2，π，sinα＝55，则sin2α＝________，cos2α＝____________，tan2α＝____________；(2)已知sinπ4－x＝513，0xπ4，求cos2x的值．解析：(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－255，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43，故填－45，35，－43.(2)因为x∈0，π4，所以π4－x∈0，π4，又因为sinπ4－x＝513，所以cosπ4－x＝1213，所以cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x＝2×513×1213＝120169.(1)由sinα求cosα，再利用二倍角公式求值．(2)由sinπ4－x，求cosπ4－x.利用二倍角求sinπ2－2x，再利用诱导公式求值．题型二二倍角的正用、逆用例2(1)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.795C．－79D．－89(2)计算：cos20°cos40°cos80°＝________.(3)计算：1－tan2π12tanπ12＝________.【解析】(1)cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.(2)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.(3)原式＝21－tan2π122tanπ12＝2tanπ6＝23.【答案】(1)B(2)18(3)23(1)cos2α＝1－2sin2α.(2)构造二倍角的正弦公式，分子视为1，分子分母同时乘以2sin20°.(3)运用二倍角的正切化简求值．方法归纳应用二倍角公式化简(求值)的策略(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．(2)公式逆用：主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα，cos2α－sin2α＝cos2α，2tanα1－tan2α＝tan2α.跟踪训练2求下列各式的值．6(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)cosπ5cos2π5.解析：(1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.利用二倍角公式求值，注意二倍角是相对的，例如π6是π12的二倍，25π是π5的二倍．题型三简单的化简证明例3(1)已知cos2α2sinα＋π4＝52，则tanα＋1tanα等于()A.－8B．8C.18D．－18(2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B.7【解析】(1)cos2α2sinα＋π4＝cos2α－sin2αsinα＋cosα＝cosα－sinα＝52⇒(cosα－sinα)2＝54⇒sinαcosα＝－18，所以tanα＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα＝－8.(2)左边＝1＋cos2A＋2B2－1－cos2A－2B2＝cos2A＋2B＋cos2A－2B2＝12(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，所以等式成立．【答案】(1)A(2)见解析(1)利用二倍角的余弦、两角和的正弦展开，再由切化弦化简求值．(2)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差公式转化为右边形式．方法归纳三角函数式的化简与证明(1)化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低．(2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．跟踪训练3化简：(1)12＋1212＋12cos2α，其中α∈3π2，2π；(2)1＋sinθ－1－sinθ，其中θ∈(0，π)．解析：(1)∵α∈3π2，2π，∴cosα0，α2∈34π，π，∴cosα20.8故原式＝12＋12cos2α＝12＋12cosα＝cos2α2＝cosα2＝－cosα2.(2)原式＝sin2θ2＋cos2θ2＋2sinθ2cosθ2－sin2θ2＋cos2θ2－2sinθ2cosθ2＝sinθ2＋cosθ22－sinθ2－cosθ22＝sinθ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2.①当θ∈0，π2时，θ2∈0，π4，cosθ2≥sinθ2，此时原式＝sinθ2＋cosθ2－cosθ2＋sinθ2＝2sinθ2.②当θ∈π2，π时，θ2∈π4，π2，cosθ2sinθ2，此时原式＝sinθ2＋cosθ2－sinθ2＋cosθ2＝2cosθ2.利用二倍角公式及变形公式化简，同时注意角的范围．方法技巧合理配凑、巧用倍角公式求解求cosπ11cos2π11cos3π11cos4π11cos5π11的值．【分析】添加“sinπ11”及系数2，创造条件，注意重复使用倍角公式．【解析】原式＝－cosπ11cos2π11cos4π11cos8π11cos5π11＝－24sinπ11cosπ11cos2π11cos4π11cos8π11cos5π1124sinπ11＝－sin16π11cos5π1124sinπ11＝sin5π11cos5π1124sinπ11＝12·sin10π1124sinπ11＝sinπ1125sinπ11＝132.【点评】本题体现了对二倍角的巧用，通过分子、分母同乘以24sinπ11后，出现了“多米诺”链接效应，连续逆用二倍角正弦公式后获得结果，具体计算时要注意“2”的方幂，不要数错．一般地，sin2nα＝2·sin2n－1αcos2n－1α⇒cosαcos2αcos22α…cos2n9－1α＝sin2nα2nsinα.课时作业39一、选择题1．已知sinα＝35，cosα＝45，则sin2α等于()A.75B.125C.1225D.2425解析：sin2α＝2sinαcosα＝2425.答案：D2．计算2sin2105°－1的结果等于()A．－32B．－12C.12D.32解析：2sin2105°－1＝－cos210°＝cos30°＝32.答案：D3．已知sinα＝3cosα，那么tan2α的值为()A．2B．－2C.34D．－34解析：因为sinα＝3cosα，所以tanα＝3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×31－32＝－34.答案：D4．已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝12，则cos2α的值为()10A．±74B.74C．－74D．－34解析：因为sinα＋cosα＝12，α∈(0，π)，所以1＋2sinαcosα＝14，所以sin2α＝