2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数 第1课时 倍角公式学案

-1-第1课时倍角公式学习目标核心素养1.能从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用上述公式进行简单的恒等变换.1.通过两角和与差公式推导出二倍角公式，体会逻辑推理素养．2.通过运用公式进行简单恒等变换，提升数学运算素养.二倍角公式思考：二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？[提示]sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；tan2α＝tan(α＋α)＝2tanα1－tan2α.1．计算1－2sin215°的结果为()A．12B．22C．32D．1-2-C2．sin105°cos105°的值为()A．14B．－14C．34D．－34B3.tan75°1－tan275°的值是()A．36B．－36C．23D．－23B4．若sinα＝55，则cos4α－sin4α＝________.35[cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35.]化简求值【例1】求下列各式的值．(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)1sin10°－3cos10°.[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)-3-＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用：1正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的.2公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知.3公式的变形应用.1．求下列各式的值．(1)cos72°cos36°；(2)1sin50°＋3cos50°.[解](1)cos72°cos36°＝2sin36°cos36°cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14.(2)原式＝cos50°＋3sin50°sin50°cos50°＝212cos50°＋32sin50°12×2sin50°cos50°＝2sin80°12sin100°＝2sin80°12sin80°＝4.给值求值问题-4-【例2】已知sinπ4－x＝513，0xπ4，求cos2xcosπ4＋x的值．[解]∵0xπ4，∴π4－x∈0，π4.又∵sinπ4－x＝513，∴cosπ4－x＝1213.又cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x＝2×513×1213＝120169，cosπ4＋x＝sinπ2－π4＋x＝sinπ4－x＝513，∴原式＝120169513＝2413.1．条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．2．当遇到π4±x这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．2．已知sinπ4＋xsinπ4－x＝16，x∈π2，π，求tan4x的值．[解]∵sinπ4＋xsinπ4－x＝sinπ4＋xsinπ2－π4＋x＝sinπ4＋xcosπ4＋x＝12sinπ2＋2x＝12cos2x＝16，∴cos2x＝13.-5-∵x∈π2，π，∴2x∈(π，2π)，∴sin2x＝－223.∴tan2x＝sin2xcos2x＝－22.∴tan4x＝2tan2x1－tan22x＝－421－8＝427.利用倍角公式化简[探究问题]1．倍角公式成立的条件是什么？[提示]由任意角的三角函数的定义可知，S2α，C2α中的角α是任意的，但要使T2α有意义，需要α≠π4＋kπ2(k∈Z)．2．如何对“二倍角”进行广义的理解？[提示]对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n＝2·α2n＋1(n∈N＋)．3．“二倍角”的余弦公式的应用形式有哪些？[提示]在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝1＋cos2α2；③1－cos2α＝2sin2α；④sin2α＝1－cos2α2.【例3】化简：(1)cos10°1＋3tan10°cos70°1＋cos40°；(2)2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.[思路探究]先把切化弦，再用二倍角公式化简即可．-6-[解](1)原式＝cos10°1＋3sin10°cos10°2sin20°cos20°＝cos10°＋3sin10°22sin40°＝212cos10°＋32sin10°22sin40°＝22sin40°sin40°＝22.(2)原式＝2cos2α－12sinπ4－αcosπ4－α·cos2π4－α＝2cos2α－12sinπ4－αcosπ4－α＝2cos2α－1cos2α＝cos2αcos2α＝1.1．将例3(1)变为化简“1－cos20°cos80°1－cos20°”．[解]原式＝2sin210°sin10°2sin210°＝2sin210°2sin210°＝2.2．将例3(2)变为化简“2sin2α1＋cos2α×cos2αcos2α”．[解]原式＝2sin2α2cos2α×cos2αcos2α＝tan2α.被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的.若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简.-7-1．对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意以下变形式2α，2α－π2，α－π4等之间关系的应用．3．式中出现1＋cosα，1＋sinα时，往往采用倍角公式去掉根号，但要注意去掉根号后的符号．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意α∈R，总有sin2α＝2sinα.()(2)对任意α∈R，总有cos2α＝1－2cos2α.()(3)对任意α∈R，总有tan2α＝2tanα1－tan2α.()(4)sin22°30′cos22°30′＝24.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．sin4π12－cos4π12等于()A．－12B．－32C．12D．32B[原式＝sin2π12＋cos2π12·sin2π12－cos2π12＝－cos2π12－sin2π12＝－cosπ6＝－32.]3．若tanα＝2，则tan2α＝________.－43[tan2α＝2tanα1－tan2α＝41－4＝－43.]4．求值：sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°.[解]∵sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°-8-＝sin50°·2sin40°cos10°＝1，cos80°1－cos20°＝sin10°2sin210°＝2sin210°，∴sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°＝1－cos20°2sin210°＝2.