2019-2020学年高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 4 不等式的证明 第2课时 综合法与分

-1-第2课时综合法与分析法学习目标：1.了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．(易混点)2.会利用综合法和分析法证明一些简单的不等式．(重点、难点)教材整理分析法与综合法阅读教材P17～P18，完成下列问题．1．分析法从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．2．综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，这种证明不等式的方法称为综合法．其思路是“由因寻果”，即从“已知”推导出已知的“性质”，从而逐步推向“未知”．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法与综合法都是直接证明命题的方法.()(2)分析法是由结论推向已知的过程.()(3)综合法的特点是“由因寻果”.()[解析]根据分析法与综合法的特点知(1)正确，(2)中，分析法是从结论入手，寻找使它成立的充分条件，而不是由结论推向已知，故错误．(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√用综合法证明不等式【例1】已知a，b，c是正数，求证：b2c2＋c2a2＋a2b2a＋b＋c≥abc.[精彩点拨]由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可证．或将原不等式变形为bca＋acb＋abc≥a＋b＋c后，再进行证明．-2-[自主解答]法一：∵a，b，c是正数，∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc.∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)，即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．又a＋b＋c0，∴b2c2＋c2a2＋a2b2a＋b＋c≥abc.法二：∵a，b，c是正数，∴bca＋acb≥2bca·acb＝2c.同理acb＋abc≥2a，abc＋bca≥2b，∴2bca＋acb＋abc≥2(a＋b＋c)．又a0，b0，c0，∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．故b2c2＋c2a2＋a2b2a＋b＋c≥abc.1．运用不等式的性质或已证明的不等式时，要注意它们各自成立的条件，正确推理．2．综合法证明不等式，常将不等式的两端进行合理的等价变形，如恰当的组合、拆项、匹配等，便于应用某些重要的不等式．1．已知a0，b0，c0，且abc＝2.求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)82.[证明]∵a0，b0，c0，∴1＋a≥2a，当且仅当a＝1时，取等号；1＋b≥2b，当且仅当b＝1时，取等号；1＋c≥2c，当且仅当c＝1时，取等号．∵abc＝2，∴a，b，c不能同时取1，∴“＝”不同时成立．∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)8abc＝82，-3-即(1＋a)(1＋b)(1＋c)82.分析法证明不等式【例2】设abc，且a＋b＋c＝0，求证：(1)b2－ac0；(2)b2－ac3a.[精彩点拨]根据题目特点，利用分析法寻找结论成立的充分条件．[自主解答](1)∵abc且a＋b＋c＝0，∴a0，c0，ac0，故b2－ac0.(2)欲证b2－ac3a，只需证b2－ac3a2.因为c＝－(a＋b)，只要证明b2＋a(a＋b)3a2成立．也就是(a－b)(2a＋b)0，即证(a－b)(a－c)0.∵abc，∴a－b0，a－c0，∴(a－b)(a－c)0成立．从而b2－ac3a成立．1．此题证明的关键是在两边非负的条件下乘方去根号．2．分析法是寻找结论成立的充分条件，对于含有无理不等式等问题的证明，采用分析法是常用方法．2．已知a，b，c均为正数，且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3.[证明]∵a，b，c均为正数，且ab＋bc＋ca＝1.要证明a＋b＋c≥3，只需证明(a＋b＋c)2≥3，即a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，只要证明a2＋b2＋c2≥1，(*)又a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，-4-因此(*)成立，故原不等式a＋b＋c≥3成立.分析综合法证明不等式[探究问题]1．分析法和综合法的逻辑关系是怎样的？[提示]综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B，(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)．分析法：B⇐Bn⇐Bn－1⇐…⇐B1⇐A，(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)．2．在证明不等式的过程中，分析法、综合法常常是不能分离的，那么往往在什么情况下使用？如何证明？[提示]如果使用综合法证明不等式难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律．有时问题的证明难度较大，常使用分析综合法，实现从两头往中间靠以达到证题目的．【例3】设实数x，y满足y＋x2＝0，且0a1，求证：loga(ax＋ay)18＋loga2.[精彩点拨]借助分析法探路，然后利用综合法证明，若盲目用综合法推进，容易受阻．[自主解答]∵0a1，欲证loga(ax＋ay)18＋loga2，只需证ax＋ay2a18.∵y＋x2＝0,0a1，∴x＋y＝x－x2＝－x－122＋14≤14，当且仅当x＝12时，(x＋y)max＝14，∴ax+y≥a14，ax+y≥a18.①又ax＋ay≥2ax+y(当且仅当x＝y时取等号)，②∴ax＋ay≥2a18.③由于①②等号不能同时成立，∴③式等号不成立，即ax＋ay2a18成立．故原不等式loga(ax＋ay)18＋loga2成立．-5-函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用．3．已知a0，1b－1a1，求证：1＋a11－b.[证明]要证明1＋a11－b，只需证1＋a1－b1，即(1＋a)(1－b)1，只要证a－b－ab0成立．∵a0，1b－1a1，∴a0，b0，a－b－abab0，∴a－b－ab0成立．故1＋a11－b成立．1．已知a0，－1b0，则()A．aabab2B．ab2abaC．abaab2D．abab2a[解析]∵－1b0，∴1b20b.又a0，∴abab2a.[答案]D2．设a0，b0，且ab－(a＋b)≥1，则()A．a＋b≥2(2＋1)B．a＋b≤2＋1C．a－b≤(2＋1)2D．a＋b2(2＋1)-6-[解析]∵ab≤a＋b2，∴ab≤14(a＋b)2.∴14(a＋b)2－(a＋b)≥ab－(a＋b)≥1，∴(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，∵a0，b0，∴a＋b≥2＋22成立(当且仅当a＝b＝2＋1时取等号)．[答案]A3．已知a，b∈(0，＋∞)，P＝a＋b2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是__________．[解析]∵a＋b≥a＋b22，∴a＋b≥a＋b2.[答案]P≤Q4．下列不等式：①a2＋22a；②a2＋b22(a－b－1)；③(a2＋b2)(c2＋d2)(ac＋bd)2，其中恒成立的有________个．[解析]在①中，a2＋2－2a＝(a－1)2＋1≥10，∴a2＋22a成立．在②中，a2＋b2－2(a－b－1)＝a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，当且仅当a＝1且b＝－1时，取等号．在③中，(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－a2c2－2abcd－b2d2＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0.故只有①恒成立．[答案]15．若a＞0，b＞0，则lg1＋a＋b2________12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．[解析]12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]＝12lg[(1＋a)(1＋b)]＝lg[(1＋a)(1＋b)]12.又∵lg1＋a＋b2＝lga＋b＋22，-7-且a＞0，b＞0.∴a＋1＞0，b＋1＞0，∴[(a＋1)(1＋b)]12≤a＋1＋b＋12＝a＋b＋22，∴lg1＋a＋b2≥lg[(1＋a)(1＋b)]12.即lg1＋a＋b2≥12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．[答案]≥