2019-2020学年高中数学 第2章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率学案 北师大版选修2-2

-1-§1变化的快慢与变化率学习目标核心素养1．了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率．(重点)2．知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量．(重点、难点)1．通过变化率是描述函数变化快慢的量的学习，培养了学生直观想象和数学抽象的核心素养.2．借助求简单函数的平均变化率的学习，养成了学生的数学运算的核心素养.1．函数的平均变化率(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为fx2－fx1x2－x1.通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？[提示]不一定．当x0取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx取定值，x0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定．2．函数的瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0),则函数的平均变化率是ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0＝fx0＋Δx－fx0Δx.当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．(2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．1．如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为()-2-A．1B．－1C．2D．－2B[ΔyΔx＝f3－f13－1＝1－33－1＝－1．]2．一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1s时的瞬时速度估计是________m/s.2[Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴ΔsΔt＝2Δt＋Δt2Δt＝2＋Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2．]3．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为________．a[一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a.]求函数的平均变化率【例1】(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44(2)已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．思路探究：(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)可得．(2)求Δx＝x2－x1→求Δy＝fx2－fx1→计算ΔyΔxB[(1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2．1)－f(2)＝2．12－22＝0.41．](2)[解]自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2－f12－1＝2＋12－1＋11＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为-3-f5－f35－3＝5＋15－3＋132＝1415.因为121415，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1．第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用fx0＋Δx－fx0Δx的形式．1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2C[∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2Δx＋Δx2Δx＝2＋Δx，故选C.]平均变化率的实际应用【例2】甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？思路探究：比较相同的时间Δt内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果．[解]在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，但s1(t0－Δt)s2(t0－Δt)，故s1t0－s1t0－ΔtΔts2t0－s2t0－ΔtΔt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．-4-平均变化率的意义1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．2．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是()A．甲的日生产量大于乙的日生产量B．甲的日生产量小于乙的日生产量C．甲的日生产量等于乙的日生产量D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小B[由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．]瞬时变化率[探究问题]1．高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在0，6549时间内的平均速度为多少？[提示]易知h6549＝h(0)，v－＝h6549－h06549－0＝0.2．物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？[提示]不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．3．如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示]可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体在(t0，t0＋Δt)内的-5-平均速度ΔsΔt＝st0＋Δt－st0Δt，然后Δt趋于0，得到物体在t0时刻的瞬时速度．【例3】一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动，估计汽车在t＝3s时的瞬时速度．(时间单位：s；位移单位：m)思路探究：先求时间从3到3＋Δt时的平均速度，再由Δt趋于0求得瞬时速度．[解]当时间从3变到3＋Δt时，v－＝s3＋Δt－s3Δt＝33＋Δt2＋1－3×32＋1Δt＝3Δt＋18，当Δt趋于0时，v－趋于常数18.∴这辆汽车在t＝3s时的瞬时速度为18m/s.求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤1．求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；2．计算ΔyΔx，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止；3．将Δx＝0代入化简后的ΔyΔx即得瞬时变化率．3．求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率．[解]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1)＝7Δx＋3(Δx)2．∴ΔyΔx＝7Δx＋3Δx2Δx＝7＋3Δx.∴当Δx趋于0时，ΔyΔx＝7＋3Δx趋于7＋3×0＝7.∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7.1．平均变化率与瞬时变化率之间的联系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”，当平均变化率ΔyΔx中Δx→0时，平均变化率变为瞬时变化率．2．瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时-6-间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．(2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由Δx＝x2－x1，知Δx可以为0.()(2)Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．()(3)对山坡的上、下两点A，B中，ΔyΔx＝y2－y1x2－x1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度．()[答案](1)×(2)√(3)√2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为()A．3Δt＋6B．－3Δt＋6C．3Δt－6D．－3Δt－6D[ΔsΔt＝5－31＋Δt2－5－3Δt＝－6－3Δt.]3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1100＋x21200，其中x为产量数，生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率为________．1912[ΔCΔx＝C1000－C9001000－900＝1912.]4．在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)，求：(1)t＝20，Δt＝0.1时Δs与ΔsΔt；(2)t＝20时的瞬时速度．[解](1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21．05(m)，ΔsΔt＝21.050.1＝210.5(m/s)．(2)∵ΔsΔt＝1020＋Δt＋520＋Δt2－10×20－5×202Δt＝5Δt＋210，-7-当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于210，所以在t＝20时的瞬时速度为210m/s.