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第1课时离散型随机变量的均值学习目标核心素养1.理解离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(重点)2.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题.(难点)通过对离散型随机变量均值的学习,培养“逻辑推理”“数学抽象”“数学运算”的数学素养.1.离散型随机变量的均值(1)设随机变量X的分布列为P(X=ai)=pi=(i=1,2,…,r),则X的均值为a1p1+a2p2+…+arpr.(2)随机变量的均值EX刻画的是X取值的“中心位置”.2.均值的性质(1)若X为常数C,则EX=C.(2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且EY=E(aX+b)=aEX+b.(3)常见的离散型随机变量的均值分布名称参数均值超几何分布N,M,nnMN二项分布n,pnp思考:两点分布与二项分布有什么关系?[提示](1)相同点:一次试验中要么发生要么不发生.(2)不同点:①随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值X=0,1,2,…,n.②试验次数不同,两点分布一般只有一次试验;二项分布则进行n次试验.1.设随机变量X~B(40,p),且EX=16,则p等于()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4D[∵EX=16,∴40p=16,∴p=0.4.故选D.]2.已知离散型随机变量X的分布列为:X123P35310110则X的数学期望EX=________.32[EX=1×35+2×310+3×110=32.]3.若随机变量X服从二项分布B4,13,则EX的值为________.43[EX=np=4×13=43.]4.设EX=10,则E(3X+5)=________.35[E(3X+5)=3EX+5=3×10+5=35.]离散型随机变量均值的性质【例1】已知随机变量X的分布列为:X-2-1012P141315m120若Y=-2X,则EY=________.1715[由随机变量分布列的性质,得14+13+15+m+120=1,解得m=16,∴EX=(-2)×14+(-1)×13+0×15+1×16+2×120=-1730.由Y=-2X,得EY=-2EX,即EY=-2×-1730=1715.][母题探究1]本例条件不变,若Y=2X-3,求EY.[解]由公式E(aX+b)=aEX+b及EX=-1730得,EY=E(2X-3)=2EX-3=2×-1730-3=-6215.[母题探究2]本例条件不变,若ξ=aX+3,且Eξ=-112,求a的值.[解]∵Eξ=E(aX+3)=aEX+3=-1730a+3=-112,∴a=15.1.该类题目属于已知离散型分布列求均值,求解方法是直接套用公式,EX=x1p1+x2p2+…+xnpn求解.2.对于aX+b型的随机变量,可利用均值的性质求解,即E(aX+b)=aEX+b;也可以先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解,比较两种方式显然前者较方便.求离散型随机变量的均值【例2】甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为12,乙每次击中目标的概率为23,记甲击中目标的次数为X,乙击中目标的次数为Y,(1)求X的概率分布列;(2)求X和Y的均值.[解](1)已知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=Ck312k123-k.则P(X=0)=C03×123=18;P(X=1)=C13×12×122=38;P(X=2)=C23×122×12=38;P(X=3)=C33×123=18.所以X的概率分布列如下表:X0123P18383818(2)由(1)知EX=0×18+1×38+2×38+3×18=1.5,或由题意X~B3,12,Y~B3,23,∴EX=3×12=1.5,EY=3×23=2.求离散型随机变量ξ的均值的步骤1根据ξ的实际意义,写出ξ的全部取值.2求出ξ的每个值的概率.3写出ξ的分布列.4利用定义求出均值.其中第1、2两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重分析概率的相关知识.1.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.[解]只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数.(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”,由等可能性事件的概率计算公式得P(A)=1-P(A)=1-C23C26=1-15=45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=5C26=13,P(ξ=1)=4C26=415,P(ξ=2)=3C26=15,P(ξ=3)=2C26=215,P(ξ=4)=1C26=115.从而知ξ的分布列为ξ01234P1341515215115所以Eξ=0×13+1×415+2×15+3×215+4×115=43.离散型随机变量均值的实际应用[探究问题]1.某篮球明星罚球命中率为0.7,罚球命中得1分,不中得0分,则他罚球一次的得分X可以取哪些值?X取每个值时的概率是多少?[提示]随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X=0)=0.3,P(X=1)=0.7.2.在探究1中,若该球星在一场比赛中共罚球10次,命中8次,那么他平均每次罚球得分是多少?[提示]每次平均得分为810=0.8.3.在探究1中,你能求出在他参加的各场比赛中,罚球一次得分大约是多少吗?为什么?[提示]在球星的各场比赛中,罚球一次的得分大约为0×0.3+1×0.7=0.7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数.【例3】随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:元)为X.(1)求X的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?思路探究:根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望EX→利用期望回答问题[解](1)X的所有可能取值有6,2,1,-2.P(X=6)=126200=0.63,P(X=2)=50200=0.25,P(X=1)=20200=0.1,P(X=-2)=4200=0.02.故X的分布列为:X621-2P0.630.250.10.02(2)EX=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为,EX=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29).依题意,EX≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.1.实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用,如对体育比赛的成绩预测,消费预测,工程方案的预测,产品合格率的预测,投资收益的预测等方面,都可以通过随机变量的均值来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.(3)对照实际意义,回答概率,均值等所表示的结论.2.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2)求η的分布列及均值E(η).[解](1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知,A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.P(A)=(1-0.4)3=0.216,P(A)=1-P(A)=1-0.216=0.784.(2)η的可能取值为200元,250元,300元.P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2,因此η的分布列为η200250300P0.40.40.2Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).1.求随机变量的数学期望的方法步骤:(1)写出随机变量所有可能的取值.(2)计算随机变量取每一个值对应的概率.(3)写出分布列,求出数学期望.2.离散型随机变量均值的性质(1)Ec=c(c为常数);(2)E(aX+b)=aEX+b(a,b为常数);(3)E(aX1+bX2)=aEX1+bEX2(a,b为常数).1.若随机变量X~B(5,0.8),则EX=()A.0.8B.4C.5D.3B[EX=np=5×0.8=4.故选B.]2.设随机变量X的分布列为P(X=k)=14,k=1,2,3,4,则EX的值为()A.2.5B.3.5C.0.25D.2A[EX=1×14+2×14+3×14+4×14=2.5.]3.马老师抄录的一个随机变量ξ的概率分布列如下表:ξ123P?!?尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此可得Eξ=__________.2[设“?”处的数值为x,则“!”处的数值为1-2x,则Eξ=1·x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.]4.已知X~B100,12,则E(2X+3)=________.103[EX=100×12=50,E(2X+3)=2EX+3=103.]5.某运动员投篮投中的概率P=0.6.(1)求一次投篮时投中次数ξ的均值;(2)求重复5次投篮时投中次数η的均值.[解](1)ξ的分布列为:ξ01P0.40.6则Eξ=0×0.4+1×0.6=0.6,即一次投篮时投中次数ξ的数学期望为0.6.(2)η服从二项分布,即η~B(5,0.6).∴Eη=np=5×0.6=3,即重复5次投篮时投中次数η的均值为3.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第2章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差(第1课时)离散型随机变
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