2019-2020学年高中数学 第2章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）离散型随机变

-1-第2课时离散型随机变量的方差学习目标核心素养1.理解离散型随机变量的方差的意义．(重点)2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点)通过对离散型随机变量方差的学习，培养“逻辑推理”“数学抽象”“数学运算”的数学素养.1．离散型随机变量的方差和标准差(1)方差DX＝E(X－EX)2.(2)标准差为DX.2．方差的性质D(aX＋b)＝a2DX.3．方差的意义方差可用来衡量X与EX的平均偏离程度，方差越小，则随机变量的取值就越集中在其均值周围；方差越大，则随机变量的取值就越分散．1．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则EX和DX分别为()A．0.25,0.5B．0.5,0.75C．0.5,0.25D．1,0.75C[EX＝0.5，DX＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．已知随机变量ξ，Dξ＝19，则ξ的标准差为________．13[ξ的标准差Dξ＝19＝13.]3．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101P121316则ξ的均值为________，方差为________.－1359[均值Eξ＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差Dξ＝(x1－-2-Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋(x3－Eξ)2·p3＝59.]求离散型随机变量的方差【例1】在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．[解]X可能取值为1,2,3,4,5.P(X＝1)＝15，P(X＝2)＝45×14＝15，P(X＝3)＝45×34×13＝15，P(X＝4)＝45×34×23×12＝15，P(X＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X的分布列为X12345P0.20.20.20.20.2由定义知，EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.1．求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值时的概率；(3)写X的分布列；(4)求EX，DX.2．若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．-3-1．某网站针对某歌唱比赛的歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上(含20岁)100100400(1)在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值；(2)若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个样本，从7人中任意抽取3人，用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数，写出X的分布列，并计算EX，DX.[解](1)因为利用分层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A”的人中抽取了6人，所以6100＋200＝n200＋400＋800＋100＋100＋400，解得n＝40.(2)X的所有可能取值为0,1,2，则分布列为X012P274717所以EX＝0×27＋1×47＋2×17＝67，DX＝27×0－672＋47×1－672＋17×2－672＝2049.均值、方差的综合应用[探究问题]1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试求EX1，EX2.[提示]EX1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.EX2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.2．在探究1中，由EX1＝EX2的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？-4-[提示]不能．因为EX1＝EX2.3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示]利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．【例2】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．[解](1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于EξEη，DξDη，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.2在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.3下结论.依据方差的几何意义做出结论.-5-2．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0123P0.30.30.20.2乙保护区：Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．[解]甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；DX＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：EY＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；DY＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为EX＝EY，DXDY，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量.1.设随机变量X～B8，12，则D12X的值等于()A．1B．2C．12D．4C[随机变量X服从二项分布，所以D12X＝14DX＝14×8×12×1－12＝12.]2．已知X的分布列为X－101-6-P0.50.30.2则DX等于()A．0.7B．0.61C．－0.3D．0B[EX＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]3．已知随机变量X，D(10X)＝1009，则X的方差为________．19[D(10X)＝100DX＝1009，∴DX＝19.]4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知EX1＝EX2，DX1DX2，则自动包装机________的质量较好．乙[因为EX1＝EX2，DX1DX2，故乙包装机的质量稳定．]5．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知EX＝4，DX＝43，求n，p的值．[解]由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由EX＝np＝4，DX＝np(1－p)＝43，得1－p＝13，∴p＝23，n＝6.