2019-2020学年高中数学 第4章 定积分 1 1.1 定积分的背景——面积和路程问题 1.2

-1-1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分学习目标核心素养1．了解定积分的实际背景及定积分的概念.2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)3.能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)1．借助图形理解定积分的几何意义，提升了学生的直观想象的核心素养.2．借助利用定积分的几何意义求定积分的学习，培养了学生数学运算的核心素养.1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形的概念由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)．(2)求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④取极值．2．定积分(1)定积分的定义一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0x1x2…xn－1xn＝b.第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝A.其中∫叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数．(2)定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分abf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，x轴和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(3)定积分的性质-2-①ab1dx＝b－a；②abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)；③ab[f(x)±g(x)]dx＝abf(x)dx±abg(x)dx；④abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中acb)．[提醒]若f(x)在[－a，a]上连续，则①当f(x)是偶函数时，-aaf(x)dx＝20af(x)dx；②当f(x)是奇函数时，-aaf(x)dx＝0.1．函数f(x)＝x2在区间i－1n，in(i＝1,2，…，n)上，()A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小D[当n很大时，矩形的宽越来越小，区间端点处的函数值越来越接近，函数值变化很小．]2．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为__________．2n[每个小区间长度为1－－1n＝2n.]3．已知abf(x)dx＝6，则ab6f(x)dx＝________.36[ab6f(x)dx＝6abf(x)dx＝6×6＝36.]4．若abf(x)dx＝3，abg(x)dx＝2，则ab[f(x)＋g(x)]dx＝________.5[原式＝3＋2＝5.]求曲边梯形的面积【例1】求直线y＝0，x＝1，x＝2，曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．思路探究：按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．-3-[解]分割：在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将区间[1,2]等分成n个小区间：1，n＋1n，n＋1n，n＋2n，…，n＋n－1n，2nn.记第i个区间为n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，显然，S＝i＝1nΔSi.近似代替：记f(x)＝x2，当n很大，即Δx很小时，在区间n＋i－1n，n＋in上，可以认为函数f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值fn＋in＝n＋in2，从图形(图略)上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间n＋i－1n，n＋in上，用小矩形的面积ΔS′i近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔS′i＝fn＋in·Δx＝n＋in2·1n＝1n3(n2＋2ni＋i2)(i＝1,2，…，n)，①求和：由①可推知Sn＝i＝1nΔS′i＝i＝1nfn＋in·Δx＝i＝1nn＋in2·1n＝i＝1n1n3(n2＋2ni＋i2)＝1n3(i＝1nn2＋2ni＝1ni＋i＝1ni2)＝1n3n3＋2n·nn＋12＋nn＋12n＋16＝2＋1n＋131＋1n1＋12n，从而得到S的近似值S≈Sn＝2＋1n＋131＋1n1＋12n.取极限：-4-可以看到，当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0时，Sn＝2＋1n＋131＋1n1＋12n趋向于S，从而有S＝limn→∞)Sn＝limn→∞)i＝1nfn＋in·1n＝limn→∞)2＋1n＋131＋1n1＋12n＝2＋0＋13(1＋0)(1＋0)＝2＋13＝73.由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入n－1个分点，将其等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小区间的长度Δxi＝xi－xi－1．第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．将n个小矩形的面积进行求和得Sn.第四步：取极限．当n→∞时，Sn→S，S即为所求．1．求由曲线y＝12x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．1.02[将区间5等分所得的小区间为1，65，65，75，75，85，85，95，95，2，于是所求平面图形的面积近似等于1101＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02．]定积分的几何意义【例2】利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)-339－x2dx；(2)03(2x＋1)dx；(3)-11(x3＋3x)dx.思路探究：对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．[解](1)曲线y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示．-5-其面积为S＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知-339－x2dx＝92π.(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线.03(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3，y＝0围成的直角梯形OABC的面积，如图②.其面积为S＝12(1＋7)×3＝12．根据定积分的几何意义知03(2x＋1)dx＝12．图①图②(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图像关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知-11(x3＋3x)dx＝0.1．定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求abf(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．2．奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分(1)若奇函数y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则－aafxdx＝0.(2)若偶函数y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则－aafxdx＝20af(x)dx.2．根据定积分的几何意义求下列定积分的值．-6-(1)-11xdx；(2)02πcosxdx；(3)-11|x|dx.[解](1)如图①，-11xdx＝－A1＋A1＝0.(2)如图②，02πcosxdx＝A1－A2＋A3＝0.(3)如图③，∵A1＝A2，∴-11|x|dx＝2A1＝2×12＝1．(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)定积分性质的应用[探究问题]1．怎样求分段函数的定积分？[提示]可先把每一段函数的定积分求出后再相加．2．怎样求奇(偶)函数在区间[－a，a]上的定积分？[提示](1)若奇函数y＝f(x)的图像在[－a，a]上连续，则a－af(x)dx＝0；(2)若偶函数y＝g(x)的图像在[－a，a]上连续，则-aag(x)dx＝20ag(x)dx.【例3】利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y＝0，y＝x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2．思路探究：由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．[解](1)曲线所围成的平面区域如图①所示．-7-设此面积为S，则S＝02(x－0)dx＝02xdx.①②(2)曲线所围成的平面区域如图②所示．设面积为S，则S＝A1＋A2．因为A1由y＝x，y＝－x，x＝1围成，A2由y＝x，y＝x－2，x＝1和x＝4围成，所以A1＝01[x－(－x)]dx＝012xdx，A2＝14[x－(x－2)]dx＝14(x－x＋2)dx.故S＝012xdx＋14(x－x＋2)dx.利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：3．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()-8-A.14B.15C.16D.17C[根据题意，正方形OABC的面积为1×1＝1，而阴影部分由函数y＝x与y＝x围成，其面积为01(x－x)dx＝16.则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为16.]1．定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关．定积分abf(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值一般也不同．2．求曲边梯形的面积的步骤用直边形(如矩形)逼近曲边梯形的方法求曲边梯形的面积，具体步骤如下：3．定积分的物理意义：从物理学的角度来看，如果在时间区间[t1，t2]上v＝v(t)连续且恒有v(t)≥0，那么定积分t1t2v(t)dt表示做变速直线运动的物体在时间区间[t1，t2]内经过的路程．这就是定积分t1t2v(t)dt的物理意义．4．关于定积分的几何意义由三条直线x＝a，x＝b(ab)，x轴及一条曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则有：-9-①若在区间[a，b]上，f(x)≥0，则S＝abf(x)dx，如图(1)所示，即abf(x)dx＝S.(1)(2)(3)②若在区间[a，b]上，f(x)≤0，则S＝－abf(x)dx，如图(2)所示，即abf(x)dx＝－S.③若在区间[a，c]上，f(x)≥0，在区间[c，b]上，f(x)≤0，则S＝acf(x)dx－cbf(x)dx，如图(3)所示，即abf(x)dx＝SA－SB(SA，SB表示所在区域A，B的面积)．1．下列等式不成立的是