2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形章末复习课学案 新人教A版必修5

-1-第1章解三角形利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0A－Bπ，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝a24，得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sin2B＝sinBcosB，因为sinB≠0，所以sinC＝cosB，-2-又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.1．如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．[解](1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝ABsin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.-3-在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC＝7.判断三角形的形状【例2】在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．[解]法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC.展开整理得32sinC＋12cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1.∵0°C120°，∴C＋30°＝90°.∴C＝60°，则A＝60°.∴△ABC为等边三角形．法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，b＝a＋c2，∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°，化简得(a－c)2＝0.∴a＝c.又B＝60°，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系．判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三-4-角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．2．在△ABC中，若bcosCccosB＝1＋cos2C1＋cos2B，试判断△ABC的形状．[解]由已知1＋cos2C1＋cos2B＝2cos2C2cos2B＝cos2Ccos2B＝bcosCccosB，得cosCcosB＝bc.可有以下两种解法．法一：(利用正弦定理，将边化角)由正弦定理得bc＝sinBsinC，∴cosCcosB＝sinBsinC，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.即B＝C或B＋C＝90°.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：(利用余弦定理，将角化边)∵bc＝cosCcosB，∴由余弦定理得a2＋b2－c22aba2＋c2－b22ac＝bc，即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．∴a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0.∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0.∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，即b＝c或a2＝b2＋c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.-5-正、余弦定理的实际应用【例3】如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5km.(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1km)(参考数据：3≈1.73，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)思路探究：(1)以BD为边的三角形为△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB.(2)以CD为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．[解](1)设BD＝xkm，则在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8xcos30°，即x2－83x＋39＝0，解得x＝43±3.因为43＋38，应舍去，所以x＝43－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9km.(2)在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD＝ABsin∠ADB，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝ADAB·sin∠ADB＝45＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×BDsin∠DCB≈3.9.故景点C与景点D之间的距离约为3.9km.正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．-6-3．如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01km)．[解](1)由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km)．∴PB＝x－12，PC＝18＋x.在△PAB中，AB＝20km，cos∠PAB＝PA2＋AB2－PB22PA·AB＝x2＋202－（x－12）22x·20＝3x＋325x.同理cos∠PAC＝72－x3x.∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴3x＋325x＝72－x3x，解得x＝1327.(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·3x＋325x＝3×1327＋325≈17.71(km)．所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71km.与三角形有关的综合问题[探究问题]1．如图所示，向量AB→与BC→的夹角是∠B吗？在△ABC中，两向量AB→·AC→的数量积与余弦定理有怎样的联系？-7-[提示]向量AB→与BC→的夹角是∠B的补角，大小为180°－∠B，由于AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA＝bccosA.所以AB→·AC→＝bccosA＝12(b2＋c2－a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题．2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？[提示]用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论．【例4】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．[解](1)由BA→·BC→＝2得cacosB＝2.又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×13＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223，-8-由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23×223＝429.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×429＝2327.1．(变条件，变结论)将本例中的条件“ac，BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3”变为“已知S△ABC＝30且cosA＝1213”求AB→·AC→的值．[解]在△ABC中，cosA＝1213，∴A为锐角且sinA＝513，∴S△ABC＝12bcsinA＝12bc·513＝30.∴bc＝156.∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA＝bccosA＝156×1213＝144.2．(变条件，变结论)在“母题探究1”中再加上条件“c－b＝1”能否求a的值？[解]由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b－c)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×113＝25，∴a＝25＝5.正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．-9-