2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系章末复习课学案 新人教A版选修4-4

-1-第1讲坐标系[自我校对]①极坐标系②直线的极坐标系方程③圆的极坐标系方程④柱坐标系⑤球坐标系平面直角坐标系下图形的变换平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现，在使用坐标变换公式x′＝λxλ0y′＝μyμ0时，一定要分清变换前后的新旧坐标．【例1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′＝3x，y′＝－2y，求曲线y2＝2x经过φ变换后所得直线l′的方程．[规范解答]设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．由伸缩变换φ：x′＝3x，y′＝－2y，得x＝x′3，y＝－12y′，代入y2＝2x，得14y′2＝23x′，-2-∴即y′2＝83x′，因此变换后曲线的方程为y′2＝83x′.1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝2x，y′＝2y后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．[解]将x′＝2x，y′＝2y，代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，化简，得x－522＋(y＋3)2＝14，故曲线是以52，－3为圆心，半径为12的圆.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程．【例2】求圆心为C3，π6，半径为3的圆的极坐标方程．[规范解答]如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠POA＝θ－π6，|OA|＝2×3＝6.在Rt△POA中，|OP|＝|OA|cos∠POA，则ρ＝6cosθ－π6，即圆的极坐标方程为ρ＝6cosθ－π6.-3-2．△ABC底边BC＝10，∠A＝12∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．[解]如图：令A(ρ，θ)，△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝θ2，又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是由正弦定理，得ρsinπ－3θ2＝10sinθ2，化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ.极坐标与直角坐标的互化极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系．同一个点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程．为了研究问题的方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程．它们之间的互化关系为：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．【例3】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．[解]以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程，同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．(2)由x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋4y＝0，解得x1＝0，y1＝0，x2＝2，y2＝－2.即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.-4-3．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径．[解]以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sinθ－22cosθ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6.转化与化归思想转化与化归思想，是运用数学知识的迁移解决问题．具体表现为化未知为已知，化抽象为具体，化一般为特殊．如本章中直角坐标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，都是这种思想的体现．当ρ≥0,0≤θ2π时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化就是等价转化．【例4】已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsinθ－π3＝6，(1)化C1、C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；(2)求C1、C2交点间的距离．[规范解答](1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，∴x2＋y2＝100，所以C1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．由C2：ρsinθ－π3＝6，得ρ12sinθ－32cosθ＝6，∴y－3x＝12，即3x－y＋12＝0，所以C2表示直线．(2)由于圆心(0,0)到直线3x－y＋12＝0的距离为d＝1232＋－12＝6r＝10，所以直线l被圆截得的弦长|C1C2|＝2r2－d2＝2102－62＝16.-5-4．在极坐标系中，点M坐标是2，π3，曲线C的方程为ρ＝22sinθ＋π4；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和极点．(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长．[解](1)∵直线l过点M2，π3和极点，∴直线l的直角坐标方程是θ＝π3(ρ∈R)．ρ＝22sinθ＋π4即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.(2)点M的直角坐标为(1，3)，直线l过点M和原点，∴直线l的直角坐标方程为y＝3x.曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r＝2，圆心到直线l的距离为d＝3－12，∴|AB|＝2r2－d2＝3＋1.1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为__________．[解析]∵ρ＝2sinθ，∴ρ2＝2ρsinθ，∴x2＋y2＝2y，即x2＋y2－2y＝0.[答案]x2＋y2－2y＝02．在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为________．[解析]由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ知极坐标2，π3可化为(1，3)，直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6可化为x＋3y－6＝0.故所求距离为d＝|1＋3×3－6|12＋32＝22＝1.[答案]13．在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________．[解析]圆ρ＝8sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直线-6-θ＝π3(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝3x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径．圆心(0,4)到直线y＝3x的距离为432＋12＝2，又圆的半径r＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.[答案]64．在极坐标系中，直线ρcosθ－3ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝______________.[解析]∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线的直角坐标方程为x－3y－1＝0.∵ρ＝2cosθ，∴ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x.∴圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.∵圆心(1,0)在直线x－3y－1＝0上，∴AB为圆的直径，∴|AB|＝2.[答案]25．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[解](1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，则ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，-7-故θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.