2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学案 新人教A版选修

-1-1.1.3导数的几何意义学习目标核心素养1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．会求导函数．(重点、难点)3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)1．通过导数几何意义的学习，培养学生数学抽象及直观想象的核心素养．2．借助切线方程的求解，提升学生的数学运算核心素养.1．导数的几何意义(1)切线的定义如图所示，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的-2-一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.思考：f′(x0)与f′(x)有什么区别？[提示]f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＝0C．f′(x0)＜0D．f′(x0)不存在C[由题意可知，f′(x0)＝－2＜0，故选C.]2．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．45°[设切线的倾斜角为α，则tanα＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]3．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．x＋y－3＝0[切线的斜率为k＝－1.∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]导数几何意义的应用【例1】(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1(1)B(2)A[(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．(2)由题意，知k＝y′|x＝0-3-＝limΔx→00＋Δx2＋a0＋Δx＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.]1．本例(2)中主要涉及了两点：①f′(0)＝1，②f(0)＝b.2．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．3．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B．12C．－12D．－1A[由题意可知，f′(1)＝2.又limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0a1＋Δx2－aΔx＝limΔx→0(aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2得a＝1.]2．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．1D[直线l的方程为x4＋y4＝1，即x＋y－4＝0.又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]求切点坐标【例2】过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；-4-(3)与x轴成135°的倾斜角．[解]f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·13＝－1，得x0＝－32，y0＝94，即P－32，94是满足条件的点．(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，∴其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－12，y0＝14，即P－12，14是满足条件的点．1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．2．根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)将x0代入f(x)求y0得切点坐标．3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．[解]设切点P(m，n)，切线斜率为k，由y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2x＋Δx2－7]－2x2－7Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′|x＝m＝4m.由题意可知4m＝8，∴m＝2.代入y＝2x2－7得n＝1.-5-故所求切点P为(2,1)．求曲线的切线方程[探究问题]1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？[提示]y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？[提示]曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示]不一定．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．思路探究：(1)求y′|x＝1―→求切点―→点斜式方程求切线(2)设切点x0，y0―→求y′|x＝x0―→由y′|x＝x0＝y0－1x0－1求x0，y0―→写切线方程[解](1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋Δx3－1Δx＝limΔx→0[3＋3Δx＋Δx2]＝3.∴k＝y′|x＝1＝3.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x20，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0，-6-即y0－1x0－1＝3x20，又y0＝x30，所以x30－1x0－1＝3x20，即2x20－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－12.①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.②当x0＝－12时，切点坐标为－12，－18，相应的切线方程为y＋18＝34x＋12，即3x－4y＋1＝0.1．(变结论)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？[解]由y＝3x－2，y＝x3，解得x＝1，y＝1，或x＝－2，y＝－8，从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．2．(变条件)求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．[解]设切点为Q(a，a2＋1)，fa＋Δx－faΔx＝a＋Δx2＋1－a2＋1Δx＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，a2＋1－0a－1＝2a，解得a＝1±2，所求的切线方程为y＝(2＋22)x－(2＋22)或y＝(2－22)x－(2－22)．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．1．曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过在x0处的切线刻画：f′(x0)0说明曲线在x0处的切线斜率为正值，在x0附近曲线是上升的；f′(x0)0说明曲线在x0处的切线斜率为负值，在x0附近曲线是下降的．2．曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．3．在求曲线上某点处的切线方程时，要注意区分切线、切线的斜率和该点处的导数这三-7-者之间的关系，函数在某点处可导是曲线在该点处存在切线的充分不必要条件．因此，在求曲线上某点处的切线方程时，如果导数不存在，可由切线的定义来求切线方程．1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4B．－4C．－2D．2D[由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.]2．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在C[根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]3．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．＞[f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，由图象可得f′(a)＞f′(b)．]4．曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．x＋2y＋4＝0[f′(－2)＝limΔx→0f－2＋Δx－f－2Δx＝limΔx→02－2＋Δx＋1Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，∴切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.]5．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．[解]设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则-8-f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3Δx＝3x2－4x.由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x20－4x0＝4，解得x0＝－23或x0＝2，∴切点坐标为－23，4927或(2,3)．当切点为－23，4927时，有4927＝4×－23＋a，∴a＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，因此切点坐标为－23，4927或(2,3)，a的值为12127或－5.