2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程章末复习课学案 新人教A版选修4-4

-1-第2讲参数方程[自我校对]①圆的参数方程②圆锥曲线的参数方程③直线的参数方程圆锥曲线的参数方程及应用对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．【例1】在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值．[规范解答]∵椭圆x23＋y2＝1的参数方程为x＝3cosφ，y＝sinφ(φ为参数)．-2-故设动点P(3cosφ，sinφ)，其中φ∈[0,2π)．因此S＝x＋y＝3cosφ＋sinφ＝2sinπ3cosφ＋cosπ3sinφ＝2sinφ＋π3，∴当φ＝π6时，S取得最大值2；当φ＝7π6时，S取得最小值－2.1．一直线经过P(1,1)点，倾斜角为α，它与椭圆x24＋y2＝1相交于P1、P2两点．当α取何值时，|PP1|·|PP2|有最值，并求出最值．[解]设直线方程为x＝1＋tcosα，y＝1＋tsinα(t为参数)，代入椭圆方程得(cos2α＋4sin2α)t2＋(2cosα＋8sinα)t＋1＝0.∵Δ＝(2cosα＋8sinα)2－4(cos2α＋4sin2α)＞0，∴tanα＜－23，或tanα＞0.|PP1|·|PP2|＝t1·t2＝1cos2α＋4sin2α，＝sin2α＋cos2αcos2α＋4sin2α＝1＋tan2α1＋4tan2α＝14＋34＋16tan2α，tan2α→＋∞时，(|PP1|·|PP2|)min＝14，此时α＝π2，|PP1|·|PP2|无最大值.直线的参数方程及应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．-3-【例2】直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为x＝－4＋32t，y＝12t(t为参数)与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点，(1)求弦长|AB|；(2)过P0作圆的切线，求切线长．[规范解答]将直线l的参数方程代入圆的方程，得－4＋32t2＋12t2＝7，整理得t2－43t＋9＝0.(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝43，t1·t2＝9.故|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝23.(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，∴切线长|P0T|＝3.2．已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值．[解]因为实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，所以点(x，y)可视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，于是可利用圆的参数方程来求解．设x＝1＋3cosθ，y＝1＋3sinθ(θ为参数)，则x2＋y2＝(1＋3cosθ)2＋(1＋3sinθ)2＝11＋6(sinθ＋cosθ)＝11＋62sinθ＋π4.因为－1≤sinθ＋π4≤1，所以11－62≤x2＋y2≤11＋62，所以x2＋y2的最大值为11＋62，最小值为11－62.参数法及应用参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟-4-通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围．【例3】如图，已知直线l过点P(2，0)，斜率为43，直线l和抛物线y2＝2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P、M两点间的距离|PM|；(2)线段AB的长|AB|.[规范解答](1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为43，设直线的倾斜角为α，tanα＝43，sinα＝45，cosα＝35，∴直线l的参数方程为x＝2＋35ty＝45t(t为参数)．∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)0.设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝158，t1t2＝－254，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得|PM|＝t1＋t22＝1516.(2)|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝5873，因此线段AB的长为5873.3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝4cosθy＝4sinθ(θ为参数，且-5-0≤θ2π)，点M是曲线C1上的动点．(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0(ρ0)，求点P到直线l距离的最大值．[解](1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cosθ，4sinθ)，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝12(0＋4cosθ)＝2cosθ，y＝12(0＋4sinθ)＝2sinθ，所以点P的坐标为(2cosθ，2sinθ)，因此点P的轨迹的参数方程为x＝2cosθy＝2sinθ(θ为参数，且0≤θ2π)，消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.又由(1)知，点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋－12＝12＝22，所以点P到直线l距离的最大值为2＋22.曲线的参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的相互转化体现了函数与方程的紧密联系和实际应用．【例4】求方程4x2＋y2＝16的参数方程(1)设y＝4sinθ，θ为参数；(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数．[规范解答](1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ.∴x＝±2cosθ.由于参数θ的任意性，可取x＝2cosθ，因此4x2＋y2＝16的参数方程是x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．-6-(2)设M(x，y)是曲线4x2＋y2＝16上异于A的任一点，则y－4x＝k(x≠0)，将y＝kx＋4代入方程，得x[(4＋k2)x＋8k]＝0，∴x＝－8k4＋k2，y＝－4k2＋164＋k2，易知A(0,4)也适合此方程．另有一点x＝0，y＝－4，∴所求的参数方程为x＝－8k4＋k2，y＝－4k2－164＋k2(k为参数)和x＝0，y＝－4.4．将参数方程x＝35t＋1，y＝t2－1(t为参数)化为普通方程．[解]由x＝35t＋1得t＝53(x－1)，代入y＝t2－1，得y＝259(x－1)2－1，即为所求普通方程．1．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2，y＝22t(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．[解析]由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2得x＋y＝－2.方法一：由x＝t2，y＝22t，得y2＝8x，联立x＋y＝－2，y2＝8x，得x＝2，y＝－4，即交点坐标为(2，－4)．方法二：把x＝t2，y＝22t代入x＋y＋2＝0得t2＋22t＋2＝0，解得t＝－2，∴x＝2，y＝－4，即交点坐标为(2，－4)．-7-[答案](2，－4)2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝______.[解析]由ρ(sinθ－3cosθ)＝0，得ρsinθ＝3ρcosθ，则y＝3x.由x＝t－1t，y＝t＋1t，得y2－x2＝4.由y＝3x，y2－x2＝4，可得x＝22，y＝322或x＝－22，y＝－322，不妨设A22，322，则B－22，－322，故|AB|＝－22－222＋－322－3222＝25.[答案]253．已知直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝1＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4ρ0，3π4θ5π4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．[解析]由x＝－1＋t，y＝1＋t，得x－y＋2＝0，则ρcosθ－ρsinθ＋2＝0.由ρ2cos2θ＝4得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4.∴ρcosθ＝－2，ρsinθ＝0.∴θ＝π，ρ＝2.∴直线l与曲线C的交点的极坐标为A(2，π)．[答案](2，π)4．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.-8-(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．[解](1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)(方法1)由直线l的参数方程x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，消去参数得y＝x·tanα.设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB|＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k|1＋k2＝25－1022，即36k21＋k2＝904，整理得k2＝53，解得k＝±153，即l的斜率为±153.(方法2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.5．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．[解](1)因为－1＜1－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为-9-x2＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.