2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修1-2

-1-2.1.1合情推理学习目标核心素养1．了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点、易混点)2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点)3．了解合情推理在数学发现中的作用.通过本节学习，培养学生的逻辑推理素养.一、归纳推理和类比推理1．归纳推理2．类比推理二、合情推理1．含义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．2．合情推理的过程-2-从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)归纳推理是由特殊到一般的推理．()[解析](1)错误．它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理．(2)错误．类比推理不一定正确．(3)正确．由特殊到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．an＝3n－1B．an＝4n－3C．an＝n2D．an＝3n－1[解析]a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16…猜想an＝n2.[答案]C3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号)．①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．[解析]正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．[答案]①②③归纳推理【例1】(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－1an＋1，则a2017等于()A．2B．－12C．－2D．1-3-(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．[解析](1)a1＝1，a2＝－12，a3＝－2，a4＝1，…，数列{an}是周期为3的数列，2017＝672×3＋1，∴a2017＝a1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.[答案](1)D(2)5091．由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．2．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：1．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36-4-(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．[解析](1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.[答案](1)B(2)28类比推理在几何中的应用【例2】如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，可以得到结论Paha＋Pbhb＋Pchc＝1.证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．[思路探究]三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解]Paha＝12BC·Pa12BC·ha＝S△PBCS△ABC，同理，Pbhb＝S△PACS△ABC，Pchc＝S△PABS△ABC.∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，-5-∴Paha＋Pbhb＋Pchc＝S△PBC＋S△PAC＋S△PABS△ABC＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，可以得到结论Paha＋Pbhb＋Pchc＋Pdhd＝1.证明如下：Paha＝13S△BCD·Pa13S△BCD·ha＝VP­BCDVA­BCD，同理，Pbhb＝VP­ACDVA­BCD，Pchc＝VP­ABDVA­BCD，Pdhd＝VP­ABCVA­BCD.∵VP­BCD＋VP­ACD＋VP­ABD＋VP­ABC＝VA­BCD，∴Paha＋Pbhb＋Pchc＋Pdhd＝VP­BCD＋VP­ACD＋VP­ABD＋VP­ABCVA­BCD＝1.1．一般地，平面图形与空间图形类比如下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的类似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．2．若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cosC＋c·cosB可类比四面体的什么性质？[解]在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.-6-类比推理在其他问题中的应用[探究问题]1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示]类比推理．2．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n19，n∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则成立的等式是什么？[提示]在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n(n19，n∈N＋)．若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n(n17，n∈N＋)．相应地，在等比数列{bn}中有：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n17，n∈N＋)．【例3】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)具有类似特征的性质，并加以证明．[思路探究]双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明[解]类似性质：若M，N为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)是双曲线上的点，所以n2＝b2a2m2－b2.同理y2＝b2a2x2－b2.则kPM·kPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．-7-1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．3．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是________．[解析]因为等差数列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋10d10个＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.[答案]数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为3001．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[解析]观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.[答案]C2．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()-8-A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－3[解析]∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.[答案]A3．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22B.l22C.lr2D．无法确定[解析]扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr2.[答案]C4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．[解析]由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.[答案]1∶85．已知在数列{an}中，a1＝12，an＋1＝3anan＋3.(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想an.[解](1)a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a3＝3a2a2＋3＝38，a4＝39，a5＝310.-9-(2)由a2＝32＋5，a3＝33＋5，a4＝34＋5，a5＝35＋5，可猜想an＝3n＋5.