2019-2020学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 2 绝对值不等式 1.绝对值三角不等式

-1-二绝对值不等式1．绝对值三角不等式学习目标：1.理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．(难点、易错易混点)教材整理1绝对值的几何意义阅读教材P11～P11“思考”以上部分，完成下列问题．1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．教材整理2绝对值三角不等式阅读教材P11～P14“定理2”以上部分，完成下列问题．1．定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b||a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是()A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立B[当a，b异号且|a|＞|b|时左边等号才成立，A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．]教材整理3三个实数的绝对值不等式阅读教材P14～P15“2.绝对值不等式的解法”以上部分，完成下列问题．定理2如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|＞2B．|a＋b|＋|a－b|＜2-2-C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不可能比较大小B[当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.]运用绝对值不等式求最值与范围【例1】对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．[精彩点拨]令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.[自主解答]法一对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1，当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，即－2≤x≤－1时取等号．∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.∴实数m的取值范围是(－∞，1]．法二t＝|x＋1|＋|x＋2|＝－2x＋3，x－2，1，－2≤x≤－1，2x＋3，x－1.∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.因此实数m的取值范围是(－∞，1]．1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．1．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解](1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.-3-解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.所以f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝12时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．含绝对值不等式的证明【例2】设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：ax＋bx22.[精彩点拨]不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．[自主解答]依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1.又|x|m，∴|x||a|，|x||b|，|x|1，从而|x|2|b|.因此ax＋bx2≤ax＋bx2＝|a||x|＋|b||x2||x||x|＋|x|2|x2|＝2，即ax＋bx22.1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．2．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，且|x－a|1，求证：|f(x)－f(a)|2(|a|＋1)．[证明]|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1||x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.又|x－a|1，-4-∴|f(x)－f(a)||x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋11＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．绝对值不等式的理解与应用[探究问题]1．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件是怎样的？[提示]不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．你能给出定理2的几何解释吗？[提示]在数轴上，a，b，c的对应的点分别为A，B，C.当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c||a－b|＋|b－c|.【例3】已知a，b∈R，则有(1)|a|－|b||a－b|≤1成立的充要条件是________；(2)|a|＋|b||a＋b|≥1成立的充要条件是________．[精彩点拨]利用绝对值三角不等式定理分别求解．[自主解答](1)因为|a|－|b|≤|a－b|恒成立，所以有|a－b|＞0⇔a≠b⇔||a|－|b|||a－b|≤1，因此|a|－|b||a－b|≤1成立的充要条件是a≠b.(2)因为|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立，所以有|a＋b|＞0⇔a≠－b⇔|a|＋|b||a＋b|≥1.因此|a|＋|b||a＋b|≥1成立的充要条件是a≠－b.[答案](1)a≠b(2)a≠－b1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b|的理解和应用．2．解决此类问题应从两个方向推出关系来进行求解．3．条件不变，试求：-5-(1)||a|－|b|||a－b|＜1成立的充要条件；(2)|a|＋|b||a＋b|＞1成立的充要条件．[解](1)因为ab＜0⇔||a|－|b||＜|a－b|⇔|a|－|b||a－b|＜1，所以||a|－|b|||a－b|＜1成立的充要条件是ab＜0.(2)因为|a|＋|b||a＋b|＞1⇔|a|＋|b|＞|a＋b|且a＋b≠0⇔ab＜0且a≠－b，所以|a|＋|b||a＋b|＞1成立的充要条件是ab＜0且a≠－b.1．已知实数a，b满足ab＜0，则下列不等式成立的是()A．|a＋b|＞|a－b|B．|a＋b|＜|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b||D．|a－b|＜|a|＋|b|B[∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|＝||a|－|b||，故应选B.]2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|1成立的充分不必要条件可以是()A．|a|≥12且|b|≥12B．|a＋b|≥1C．|a|≥1D．b－1D[当b－1时，|b|1，∴|a|＋|b|1，但|a|＋|b|1D⇒/b－1(如a＝2，b＝0)，∴“b－1”是“|a|＋|b|1”的充分不必要条件．]3．已知四个命题：①ab⇒|a|b；②ab⇒a2b2；③|a|b⇒ab；④a|b|⇒ab.其中正确的命题是________．[解析]当ab时，|a|≥ab，①正确．显然②③不正确．-6-又当a|b|时，有a|b|≥b，④正确．[答案]①④4．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________．[解析]∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.[答案]35．f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围．[解]∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号，即10≤x≤20.因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．