高考数学二轮复习 极坐标与参数方程学案（含解析）

1坐标系与参数方程考向一：极坐标方程极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x＝□01ρcosθ，y＝□02ρsinθ；ρ2＝□03x2＋y2，tanθ＝□04yxx1、［2016•全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.解法二：将l的参数方程代入C的方程得t2+12cosαt+11=0于是t1＋t2＝－12cosα，t1t2＝11.|AB|＝|t1－t2|＝144cos2α－44由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.2所以l的斜率为153或－153.条件探究：若直线l的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，l与C交于M，N两点，求△CMN的面积．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋6√2ρ＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－6√2，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝√72−44=2√7圆C的半径为5，△CMN的面积为3√14.2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD．（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在M上，且||3OP，求P的极坐标．【答案】（1）1M的极坐标方程为π2cos04，2M的极坐标方程为π3π2sin44，3M的极坐标方程为3π2cosπ4．（2）π3,6或π3,3或2π3,3或5π3,6．【解析】（1）由题设可得，弧,,ABBCCD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos．所以1M的极坐标方程为π2cos04，2M的极坐标方程为π3π2sin44，3M的极坐标方程为3π2cosπ4．3（2）设(,)P，由题设及（1）知若π04，则2cos3，解得π6；若π3π44，则2sin3，解得π3或2π3；若3ππ4，则2cos3，解得5π6．综上，P的极坐标为π3,6或π3,3或2π3,3或5π3,6．3、［2017•全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π3＝2sin2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点000(,)(0)M在曲线:4sinC上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P．（1）当0=3时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）023，l的极坐标方程为cos23；（2）4cos,,42．4【解析】（1）因为00,M在C上，当03时，04sin233．由已知得||||cos23OPOA．设(,)Q为l上除P的任意一点．在RtOPQ△中，cos||23OP，经检验，点(2,)3P在曲线cos23上．所以，l的极坐标方程为cos23．（2）设(,)P，在RtOAP△中，||||cos4cos,OPOA即4cos．因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,42．所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,42．考向二：参数方程1、［2017•全国Ⅰ，22］在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.5解(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3，0)，（－2125，2425）.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a＜－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）221(1)4yxx；l的直角坐标方程为23110xy；（2）7．【解析】（1）解法一：𝑥=1−𝑥21+𝑥2=−1+21+𝑥2，221111tt，21+t2=x+1，t2=1−x1+x，y=4t1+t2，2221141txttyt，2cos3sin1106y2=16t2(1+t2)2=4(1−x)(x+1)=4−4x2所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx.解法二:因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx．l的直角坐标方程为23110xy．（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，ππ）．C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377．当2π3时，π4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．3、［2018•全国Ⅲ，22］在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)解析一：⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k21，解得k－1或k1，即α∈（π4，π2）或α∈（π2，3π4）.综上α的取值范围是（π4，3π4）.解析二：设l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，代入⊙O的直角坐标方程得t2－22tsinα＋1＝0.直线l与⊙O交于A，B两点，所以∆=8sin2α−40，sinα√22，α的取值范围是（π4，3π4）.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4α3π4.7设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4α3π4.条件探究：点M(0，－2)，过点M的直线l与⊙O交于A，B两点，若MB→=2MA→，求直线l的方程。解：l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4α3π4.设A，B对应的参数分别为tA，tB，则tB=2tA，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tA.tB＝1，得sinα=34√22，所以直线l的方程为y=±3√77x−√24、［2018•全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－α＋sinα1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.8