2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数运算 第2课时 对

1第2课时对数的运算[目标]1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．[重点]对数的运算性质的推导与应用．[难点]对数的运算性质的推导和换底公式的应用.知识点一对数的运算性质[填一填]如果a0，且a≠1，M0，N0.那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)logaMN＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．[答一答]1．若M，N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？提示：不一定，当M0，N0时成立，当M0，N0时不成立．2．你能推导loga(MN)＝logaM＋logaN与logaMN＝logaM－logaN(M，N0，a0且a≠1)两个公式吗？提示：①设M＝am，N＝an，则MN＝am＋n.由对数的定义可得logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n.这样，我们可得loga(MN)＝logaM＋logaN.②同样地，设M＝am，N＝an，则MN＝am－n.由对数定义可得logaM＝m，logaN＝n，logaMN＝m－n，即logaMN＝logaM－logaN.2知识点二换底公式[填一填]换底公式常见的推论：(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝nmlogab，特别logab＝1logba；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.[答一答]3．换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数．4．若log34·log48·log8m＝log416，求m的值．提示：∵log34·log48·log8m＝log416，∴lg4lg3·lg8lg4·lgmlg8＝log442＝2，化简得lgm＝2lg3＝lg9，∴m＝9.类型一对数运算性质的应用[例1]计算下列各式：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；3(2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8；(3)lg25＋23lg8＋lg5lg20＋(lg2)2.[分析](1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．[解](1)(方法1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.(方法2)原式＝lg427－lg4＋lg(75)＝lg42×757×4＝lg(2×5)＝lg10＝12.(2)原式＝lg4＋lg31＋lg0.6＋lg2＝lg12lg10×0.6×2＝lg12lg12＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：1把复杂的真数化简；2正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则，将它们化为对数的和、差、积、商，然后再化简；3逆用公式：对式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.[变式训练1](1)计算：log53625＝43；log2(32×42)＝9.(2)计算：lg8＋lg125＝3；lg14－lg25＝－2；2log36－log34＝2.4类型二换底公式的应用[例2](1)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)；(2)已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645.[解](1)原式＝lg2lg3＋lg2lg9lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.(2)由18b＝5，得log185＝b，∴log3645＝log185×9log1818×2＝log185＋log1891＋log182＝log185＋log1891＋log18189＝log185＋log1892－log189＝a＋b2－a.利用换底公式可以统一“底”，以方便运算.在用换底公式时，应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：logab·logba＝1.[变式训练2]计算下列各式：(1)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．(2)log89log23×log6432.解：(1)方法1：原式＝(log253＋log225log24＋log25log28)(log52＋log54log525＋log58log5125)＝3log25＋2log252log22＋log253log22log52＋2log522log55＋3log523log55＝3＋1＋13log25·(3log52)＝13log25·log22log25＝13.方法2：原式＝lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg55＝13lg53lg23lg2lg5＝13.(2)方法1：原式＝log29log28÷log23×log232log264＝2log233÷log23×56＝59.方法2：原式＝lg9lg8÷lg3lg2×lg32lg64＝2lg33lg2×lg2lg3×5lg26lg2＝59.类型三与对数方程有关的问题[例3](1)若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，求xy的值；(2)解方程：log2x＋log2(x＋2)＝3.[解](1)由题可知lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0.所以xy2－xy－2＝0.解得xy＝2或xy＝－1.又因为x0，y0，x－y0.所以xy＝2.(2)由方程可得log2x＋log2(x＋2)＝log28.所以log2[x(x＋2)]＝log28，即x(x＋2)＝8.解得x1＝2，x2＝－4.因为x0，x＋20，所以x＝2.对数方程问题的求解策略：利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式，由真数相等求解方程，转化过程中注意真数大于零这一条件，防止增根.[变式训练3](1)方程lgx＋lg(x－1)＝1－lg5的根是(B)A．－1B．2C．1或2D．－1或2(2)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则log2xy的值为4.6解析：(1)由真数大于0，易得x1，原式可化为lgx(x－1)＝lg2⇒x(x－1)＝2⇒x2－x－2＝0⇒x1＝2，x2＝－1(舍)．(2)因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以lgxy＝lg(x－2y)2，所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.因为x0，y0，x－2y0，所以x＝y应舍去，所以xy＝4.故log2xy＝log24＝4.类型四对数的实际应用[例4]人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音强度I的单位用瓦/平方米(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lgII0(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12W/m2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答下列问题：树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平．[解]由题意，可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12W/m2，则I1I0＝1，故LI1＝10·lg1＝0，则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10W/m2，则I2I0＝102，故LI2＝10lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝．同理，恬静的无线电广播强度水平为40分贝．对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型公式，在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算.[变式训练4]抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，7则至少要抽几次？(lg2≈0.3010)解：设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，则a(1－60%)n0.1%a(设原先容器中的空气体积为a)，即0.4n0.001，两边取常用对数得n·lg0.4lg0.001，所以nlg0.001lg0.4＝－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次．1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(B)A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac解析：由换底公式得logab·logca＝lgblga·lgalgc＝logcb，所以B正确．2．2log32－log3329＋log38的值为(B)A.12B．2C．3D.13解析：原式＝log34－log3329＋log38＝log34×8329＝log39＝2.3．lg5＋lg20的值是1.解析：lg5＋lg20＝lg(5×20)＝lg100＝1.4．若a0，且a≠1，b0，且b≠1，则由换底公式可知logab＝lgblga，logba＝lgalgb，所以logab＝1logba，试利用此结论计算1log321＋1log721＝1.解析：1log321＋1log721＝1lg21lg3＋1lg21lg7＝lg3lg21＋lg7lg21＝lg3×7lg21＝1.5．计算：(1)3log72－log79＋2log7322；8(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.解：(1)原式＝log78－log79＋log798＝log78－log79＋log79－log78＝0.(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.——本课须掌握的两大问题1．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N)．2．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．学习至此，请完成课时作业19