湖南省永州市2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理

-1-湖南省永州市2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题理注意事项：1.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。2.考试结束后，只交答题卡。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足21zi，则z的共轭复数为A.1－iB.1＋iC.－1＋iD.－1－i2.已知集合A＝{x|x3}，B＝{x|log2x0}，则A.A∩B＝{x|1x3}B.A∩B＝ϕC.A∪B＝{x|x3}D.A∪B＝{x|x1}3.执行右图所示程序框图，若输入p＝14，则输出结果为A.2B.3C.4D.54.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是A.他们健身后，体重在区间[90kg，100kg)内的人数不变B.他们健身后，体重在区间[100kg，110kg)内的人数减少了4人C.他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg)-2-D.他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg5.已知数列321121,,,,nnaaaaaaa是首项为8，公比为12的等比数列，则a4等于A.8B.32C.64D.1286.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；姓380人，编号为221，222，…，600。为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10。现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是A.15B.715C.815D.457.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝A.－2B.0C.2D.20208.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π)的部分图像如右图所示，且A(2，－l)，B(π，1)，则φ的值为A.－56B.56C.－6D.69.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便。每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位。某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是四层)：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一。设水管的直径与保温带的宽度都为4cm。在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)-3-A.14B.14C.221414D.2211611610.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为A.8πB.6πC.4πD.82311.已知双曲线22221(,0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为A.233B.54C.53D.32212.数列{an}满足an＋1＋an＝11－n＋(－1)n，且0a61。记数列{an}的前n项和为Sn，则当Sn取最大值时n为A.11B.12C.11或13D.12或13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y＝lnx过点(0，－1)的切线方程为。14.已知AB为圆O的弦，若|AB|＝2，则OAAB＝。15.已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4.x上的两点A、B满足3AFFB，则|AB|＝。-4-16.已知函数22,1()11,xxxtfxxtxa。(1)若t＝1，且f(x)值域为[－1，3)，则实数a的取值范围为。(2)若存在实数a，使f(x)值域为[－1，1]，则实数t的取值范围为。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17题～第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必做题：60分。17.(本题满分12分)在△ABC中，∠ABC＝3，点D在边AB上，BD＝2。(1)若△BCD的面积为23，求CD；(2)若cos∠BCA＝55，cos∠DCA＝31010，求CD。18.(本题满分12分)在如图三棱锥A－BCD中，BD⊥CD，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD//平面AEF，AE⊥平面BCD。(1)求证：平面AEF⊥平面ACD；(2)若BD＝CD＝AD＝2，E为BC的中点，求直线AF与平面ABD所成角的正弦值。19.(本题满分12分)已知椭圆：22221(0)xyabab的左、右顶点分别为C、D，且过点(2，1)，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为12。(1)求椭圆的方程；(2)O为坐标原点，设直线CP交定直线x＝m于点M，当m为何值时，OPOM为定值。20.(本题满分12分)某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验.现有n(n∈N*且n≥2)份产品，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；-5-(2)混合检验，将这n份产品混合在一起作为一组来检验。若检测通过，则这n份产品全部为正品，因而这n份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n份产品究竟哪几份是次品，就要对这n份产品逐份检验，此时这n份产品的检验次数总共为n＋1次。假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为p(0p1)。(1)如果n＝4，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；(2)现对n份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n和p满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数?(3)①当n＝2k(k∈N*且k≥2)时，将这n份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n＝mk(k，m∈N*，且k≥2，m≥2)时，将这n份产品均分为m组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数5的数学期望(不需证明)。21.(本题满分12分)已知函数f(x)＝e1－x(x2＋x－1)＋1＋x，g(x)＝(2－x)ex－1－(3－x)ln(3－x)。证明：(1)存在唯一x0∈(0，1)，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈(1，2)，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x12。(二)选考题：10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本题满分10分)在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为22222xtyt(其中t为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。(1)写出直线C1的极坐标方程；(2)设动直线l：y＝kx(k0)与C1，C2分别交于点M、N，求ONOM的最大值。23.[选修4－5：不等式选讲](本题满分10分)已知函数f(x)＝|x－2|。(1)求不等式f(x)≤2x＋5的解集；(2)记函数g(x)＝f(x＋1)－f(－x＋5)，且g(x)的最大值为M，若a0，求证：213Maa。-6-永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学（理科）参考答案-7-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案BABDCCBDBACC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．10xy14．215．16316．(1)[1,3]（2分）;(2)(1,21]（3分）三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（1）1sin2BCDSBDBCB4BC…………………………………………………………………3分在BCD中，由余弦定理可得2222cosCDBCBDBCBDB23CD………………………………………………………………6分（2）BCDBCADCAsinsincoscossinBCDBCADCABCADCA……8分5cos5BCA，310cos10DCA，25sin5BCA，10sin10DCA，2sin2BCD………………………………………………………10分在BCD中，由正弦定理可得sinsinCDBDBBCD，sin6sinBDBCDBCD．………………………………………………12分-8-18．（本小题满分12分）解：（1）证明：因为//BDAEF面，BCDAEFEF面面I，BDBCD面所以//BDEF，因为BDCD，所以CDEF．又因为AE面BCD，CDBCD面，所以CDAE，而EFAEEI，所以CDAEF面，又CDACD面，所以AEFACD面面．………………6分（2）解：设直线AF与平面ABD所成交的余弦值为．连接DE，在BCD中，=2BDCD，BEEC，BDCD，所以DEBC，且22BC，2DE，又因为AEBCD面，DEBCD面，BCBCD面，所以AEDE，AEBC．在RtADE中，2DE，2AD，所以2AE．如图，以点E为坐标原点，分别以,,ECEDEA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，各点坐标为(0,02)A，，(2,0,0)B，(0,2,0)D，(2,0,0)C，因为//BDEF，E为BC的中点，所以F为CD的中点，即22(,,0)22F，设平面ABD的法向量(,,)mxyz，(2,0,2)BA，(2,2,0)BD，由mBAmBD，即(,,)(2,0,2)0(,,)(2,2,0)0mBAxyzmBDxyz，整理得00xzxy，令1z，得1x，1y，则(1,1,1)m．……10分因为22(,,2)22AF，所以2sin3||||mAFmAF，故直线AF与平面ABD所成交的正弦值为23．……………12分19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆过点(2,1)，∴22211ab，①………2分ABCFED（第18题图）xy-9-又因为直线,PCPD的斜率之积为12，可求得2212ba，②联立①②得2,2ab．∴所求的椭圆方程为22142xy．……………………………………………6分（2）方法1：由（1）知，(2,0)为C．由题意可设:(2)CMykx，令x=m,得(,(2))Mmkm．又设11(,)Pxy由22142(2)xyykx整理得：2222(12)8840kxkxk．…………………6分∵21284212kxk，∴2122412kxk，1124(2)12kykxk，所以222244(,)1212kkPkk，……………………………………………………8分∴22222224(2)244282(2)12121212uuuruuurmkkkmkOPOMmkmkkkk，…10分要使uuuruuurOPOM与k无关，只须12m，此时uuuruuurOPOM恒等于4.∴2m……………………………………………………………………………12分方法2：:设00(,)Pxy，则00:(2)2yCMyxx，令x=m,得00(2)(,)2ymMmx，∴20000000(2)(2)(,)(,)22