2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题一 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质教学案

-1-第1讲函数的图象与性质[考情考向·高考导航]1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)解析：B[y＝lnx过点(1,0)，(1,0)关于x＝1的对称点是(1,0)，而只有B选项过此点，故选B.]2．(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1解析：D[当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝e－x－1，又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝e－x－1，即f(x)＝－e－x＋1.]3．(2018·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()解析：B[∵f(－x)＝e－x－ex－x2＝－ex－e－xx2＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除选项A；又∵f(1)＝e－1e1，排除选项C、D，故选B.]4．(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值-2-范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)解析：D[画出函数f(x)的图象如图，①当2x＜0，x＋1≥0时f(x＋1)＜f(2x)成立，∴－1≤x＜0.②当2x≤0，x＋1≤0时，要使f(x＋1)＜f(2x)成立，只需x＋1＞2x，∴x≤－1.由①②知满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(－∞，0)．][主干整合]1．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．函数的性质(1)单调性对于函数y＝f(x)定义域内某一区间D上的任意x1，x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(＜0)⇔y＝f(x)在D上是增(减)函数；对于函数y＝f(x)定义域内某一区间D上的任意x1，x2，fx1－fx2x1－x2＞0(＜0)⇔y＝f(x)在D上是增(减)函数．(2)奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意x，f(x)＋f(－x)＝0⇔y＝f(x)是奇函数；对于定义域(关于原点对称)内的任意x，f(x)－f(－x)＝0⇔y＝f(x)是偶函数．(3)周期性①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)；②若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)；③若满足f(x＋a)＝1fx，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)；④若函数满足f(x＋a)＝－1fx，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)．(4)对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线-3-x＝a对称．提醒：函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)的图象对称轴为x＝0，并非直线x＝a.②若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．③若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．热点一函数及其表示[题组突破]1．(2020·苏州模拟)函数f(x)的定义域是[0,3]，则函数y＝fx－－x的定义域是____________________．解析：因为函数f(x)的定义域是[0,3]，所以由0≤2x－1≤3，2－x＞0，－x，得12≤x≤2，x＜2，x≠1.即12≤x＜2且x≠1，即函数的定义域为x12≤x＜2且x≠1.答案：x12≤x＜2且x≠12．(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝cosπx2，0＜x≤2，x＋12，－2＜x≤0，则f(f(15))的值为________．解析：因为f(x＋4)＝f(x)，函数的周期为4，所以y＝sin(2x＋4)，f(15)＝f(－1)，f(－1)＝－1＋12＝12，∴f(f(15))＝f12＝cosπ4＝22.答案：223．(2017·课标全国Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x＞0，则满足f(x)＋fx－12＞1的x-4-的取值范围是________．解析：由题意：g(x)＝f(x)＋fx－12＝2x＋32，x≤02x＋x＋12，0＜x≤122＋x－1，x＞12，函数g(x)在区间(－∞，0]，0，12，12，＋∞三段区间内均单调递增，且：g－14＝1,20＋0＋12＞1，(2＋1)×20－1＞1，据此x的取值范围是：－14，＋∞.答案：－14，＋∞4．(多选题)在下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是()A．f(x)＝x－1，g(x)＝x2－1x＋1B．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝x＋1，x≥－1，－1－x，x－1C．f(x)＝1，g(x)＝(x＋1)0D．f(x)＝x2x，g(x)＝xx2解析：BD[本题考查判断两个函数是否相同．对于A，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，f(x)与g(x)的定义域相同，f(x)＝|x＋1|＝x＋1，x≥－1，－1－x，x－1，对应关系相同，则f(x)与g(x)是同一函数；对于C，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数；对于D，函数f(x)＝x2x＝1(x0)，g(x)＝xx2＝1(x0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数．故选BD.]函数及其表示问题的注意点1．求函数的定义域时，要全面地列出不等式组，不可遗漏，并且要注意所列不等式中是否包含等号．2．对于分段函数解方程或不等式的问题，要注意在所应用函数解析式对应的自变量的范围这个大前提，要在这个前提条件下解决问题．-5-热点二函数的图象及其应用[例1](1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()[解析]D[∵f(－x)＝－x－x－x＋－x2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝π－1＋π2＞0，排除B，C.故选D.](2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}[解析]C[令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．由x＋y＝2，y＝log2x＋，得x＝1，y＝1.∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．]识图、用图的方法技巧(1)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围，变化趋势、对称性等方面找准-6-解析式与图象的对应关系．如例1(1)(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．如例1(2)(1)(2019·南昌三模)函数f(x)＝x－x－ex4x2－1的部分图象大致是()解析：B[因为函数f(x)的定义域为－∞，－12∪－12，12∪12，＋∞，f(－x)＝－xx－e－x4x2－1＝x－x－ex4x2－1＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，故排除A，令f(x)＝0，即x－x－ex4x2－1＝0，解得x＝0，所以函数f(x)只有一个零点，故排除D，当x＝1时，f(1)＝1e－e3＜0，故排除C，综上所述，只有B符合．](2)(2019·德州三模)用min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．解析：f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图中实线所示．令x＋2＝10－x，得x＝4.故当x＝4时，f(x)取最大值，又f(4)＝6，所以f(x)的最大值为6.答案：6热点三函数的性质及其应用-7-数学抽象素养数学抽象——抽象函数与函数的“三性”函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性.确定函数的单调性、奇偶性、对称性等[例2](1)(2019·唐山调研)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称[解析]C[由题意知，f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误；又f′(x)＝1x－12－x＝－xx－x(0＜x＜2)，在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A、B错误．故选C.](2)(2019·大同三模)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是()A.13，1B.－∞，13∪(1，＋∞)C.－13，13D.－∞，－13∪13，＋∞[解析]A[f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)＞f(2x－1)⇔f(|x|)＞f(|2x－1|)⇒|x|＞|2x－1|⇒13＜x＜1.]函数性质的综合应用[例3](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50[解析]C[f(x)是奇函数，图象关于原点对称，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)关于x＝1对称，故知f(x)是周期函数，周期T＝4.又∵f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(－2)＝0，-8-∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0＋(－2)＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.](2)(2019·武汉三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x1－2ex＋1，则()A．f(－3)＜f(2)＜f52B．f52＜f(－3)＜f(2)C．f(2)＜f(－3)＜f52D．f(2)＜f52＜f(－3)[解析]D[因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，即函数的周期是2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x1－2ex＋1＝x·ex－1ex＋1，则f(－x)＝－x·e－x－1e－x＋1＝－x·1－ex1＋ex＝x·ex－1ex＋1＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，当0≤x＜1时，函数y