2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题二 三角函数及解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质教学案

-1-第1讲三角函数的图象与性质[考情考向·高考导航]1．高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．2．主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1解析：B[∵cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝23，∴tan2α＝15，∴tanα＝±55，当tanα＝55时，a＝b2＝55，∴a＝55，b＝255，∴|a－b|＝55；当tanα＝－55时，a＝b2＝－55，∴a＝－55，b＝－255，∴|a－b|＝55.]2．(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π单调递减解析：D[当x∈π2，π时，x＋π3∈5π6，4π3，函数在该区间内不单调．本题选择D选项．]3．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B.32C．1D.12解析：A[由正弦函数图象可知T2＝x2－x1＝3π4－π4＝π2，∴T＝π，∴ω＝2πT＝2ππ＝-2-2.]4．(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且gπ4＝2，则f3π8＝()A．－2B．－2C.2D．2解析：C[在x＝0处有定义的奇函数必有f(0)＝0.f(x)为奇函数，可知f(0)＝Asinφ＝0，由|φ|＜π可得φ＝0；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得g(x)＝Asin12ωx，由g(x)的最小正周期为2π可得ω＝2，由gπ4＝2，可得A＝2，所以f(x)＝2sin2x，f3π8＝2sin3π4＝2.故选C.][主干整合]1．三角函数的图象及性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增，在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上都是增函数对称中心坐标(kπ，0)，k∈Z(kπ＋π2，0)，k∈Z(kπ2，0)k∈Z对称轴方程渐近线x＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Zx＝kπ＋π2(k∈Z)2.三角函数图象的两种变换方法-3-热点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系[题组突破]1．(2020·资阳模拟)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，则tan2α＋π4等于()A．－7B．－17C.17D．7解析：A[由角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，可得x＝2，y＝1，tanα＝yx＝12，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝11－14＝43，∴tan2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2αtanπ4＝43＋11－43×1＝－7.]2．(2020·衡水调研卷)已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，则等于()-4-A.12B.13C.16D．－16解析：D[∵sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα，则＝sinα－4cosα5sinα＋2cosα＝2cosα－4cosα10cosα＋2cosα＝－212＝－16.]3．(2020·衡水信息卷)已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2π2＋α－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为()A.85B．－45C.43D．－23解析：A[由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1，∴tanα＝f′(1)＝－2，cos2π2＋α－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)＝(－sinα)2－2cos2α－3sinαcosα＝sin2α－2cos2α－3sinαcosα＝sin2α－2cos2α－3sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－3tanα－2tan2α＋1＝4＋6－25＝85.](1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．-5-热点二三角函数的图象及应用直观想象素养直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题．主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思想.[例1](1)(2020·东营模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移5π12个单位长度D．向右平移5π12个单位长度[解析]A[由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin2x＋π3，g(x)＝cos2x，把g(x)＝cos2x变形得g(x)＝sin2x＋π2＝sin2x＋π12＋π3，所以只要将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g(x)＝cos2x的图象，故选A.](2)(2020·厦门模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.[解析]由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，-6-则A＝2，T2＝13π12－7π12＝π2，解得T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，当x＝π3时，fπ3＝2sin2×π3＋φ＝0，又|φ|＜π，解得φ＝－2π3，所以f(x)＝2sin2x－2π3，因为函数f(x)的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sin2x－5π12－2π3＝2cos2x，若函数g(x)在－π6，θ上的值域为[－1,2]，则2cos2θ＝－1即θ＝kπ＋π3，k∈Z或θ＝kπ＋2π3，k∈Z，故θ＝π3.[答案]π3(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2020·杭州模拟)已知函数f(x)＝3cos2x－π2－cos2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象()A．向左平移π6个单位长度B．向右平移π6个单位长度C．向左平移π12个单位长度D．向右平移π12个单位长度-7-解析：C[f(x)＝3cos2x－π2－cos2x＝3cosπ2－2x－cos2x＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6＝2sin2x－π12，所以将f(x)的图象向左平移π12个单位长度可得到奇函数y＝2sin2x的图象，故选C.](2)(2019·哈尔滨三模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，已知点A(0，3)，Bπ6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为()A．x＝π12B．x＝π4C．x＝π3D．x＝2π3解析：A[∵f(0)＝2sinφ＝3，∴sinφ＝32，又|φ|＜π，∴φ＝π3或2π3，又fπ6＝2sinπω6＋φ＝0，∴πω6＋φ＝kπ(k∈Z)，∴ω＝kπ－π3×6π＝6k－2(k∈Z)，或ω＝kπ－2π3×6π＝6k－4(k∈Z)，又ω＞0，且T4＝2π4ω＝π2ω＞π6，∴ω＜3，∴ω＝2，φ＝2π3，∴f(x)＝2sin2x＋2π3，将其图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝2sin2x－π6＋2π3＝2sin2x＋π3，g(x)图象的对称轴方程满足2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，∴x＝kπ2＋π12(k∈Z)，故选A.]热点三三角函数的性质及应用[例2](1)(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|-8-[解析]A[作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为π2，在区间π4，π2上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为π2，在区间π4，π2上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.](2)(2019·保定三模)已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(ω＞0)满足：f8π3＝f14π3，且在区间8π3，14π3内有最大值但没有最小值．给出下列四个命题：p1：f(x)在区间[0,2π]上单调递减；p2：f(x)在最小正周期是4π；p3：f(x)的图象关于直线x＝π2对称；p4：f(x)的图象关于点－4π3，0对称．其中的真命题是()A．p1，p2B．p1，p3C．p2，p4D．p3，p4[解析]C[由题意得，当x＝8π3＋14π32＝11π3时，f(x)取得最大值，则cos11πω3＋π6＝1，11πω3＋π6＝2kπ，ω＝12k－122(k∈N*)，又易知T＝2πω≥14π3－8π3＝2π，0＜ω≤1，所以k＝1，ω＝12，f(x)＝2cosx2＋π6.故f(x)的最小正周期T＝2πω＝4π，p2是真命题，又f－4π3＝0，因此f(x)的图象关于点－4π3，0对称，p4是真命题．故选C.](3)(2019·唐山调研)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f(x)的最小正周期为________．-9-[解析]∵f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ