广西南宁市第三中学2019-2020学年高二数学10月月考试题 文

-1-广西南宁市第三中学2019-2020学年高二数学10月月考试题文一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1．现要完成下列3项抽样调查：①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格；②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样2．现有60瓶矿泉水，编号从1至60．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为()A．3，13，23，33，43，53B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54D．5，10，15，20，25，303．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°4．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c5．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，则m＝()A．7B．172C．14D．176．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()-2-A．100B．150C．200D．2507．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝18．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为()A．2B．4C．6D．89．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为()A．1169B．677C．36D．36710．过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦，则最短弦的长为（）A．2B．2C．22D．411．已知点A,B,C,D均在球O上，33ABBCAC，，若三棱锥D-ABC体积的最大值为334，则球O的体积为()A．32πB．16πC．316D．33212．曲线y＝1＋24x与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．(512，34]B．(13，34]C．(0，512)D．(512，＋∞)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）-3-13．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm．（第13题）14．总体由编号为01，02，03，...，49，50的50个个体组成，利用随机数表（如上图，选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为________15．已知平面区域x≥0，y≥0，x＋2y－4≤0恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．16．已知圆O：x2＋y2＝9及点C(2，1)，过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为________．781665720802631407024369693874320494234955802036354869972801（第14题）-4-三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）(1)求经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．(2)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，求圆C的面积．18．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H．(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．-5-19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n．(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围．-6-20．（12分）如图，E是以AB为直径的半圆上异于,AB的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且22ABAD．(1)求证：EAEC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，1EF，求E到平面ADF的距离.21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设24(1)(1)nnnbaa，求数列{bn}的前n项和Tn．22．（12分）已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且-7-在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．-8-高二月考（二）文科数学试题参考答案1．B①总体数量较少，抽取样本数量较少，采用简单随机抽样；②不同岗位员工差异明显，且会影响到统计结果，因此采用分层抽样；③总体数量较多，且排数与抽取样本个数相同，因此采用系统抽样.2．A根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为10的等差数列，B选项编号公差为12；C选项编号不成等差；D选项编号公差为5；A选项编号满足公差为10的等差数列，正确3．B直线的斜率为k＝tanα＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．4．C若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．5．B直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，所以|2m＋3|4＋36＝10，求得m＝172．6．A设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则x＝4＋x02，y＝－2＋y02，解得x0＝2x－4，y0＝2y＋2.因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．7．A由题意，抽样比为703500＝150，总体容量为3500＋1500＝5000，故n＝5000×150＝100．8．B初始值S＝4，n＝1．循环第一次：S＝8，n＝2；循环第二次：S＝2，n＝3；循环第三次：S＝4，n＝4，满足n3，输出S＝4．9．D由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋917＝91，解得x＝4．所以s2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367．10．C设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r=2，当弦过点A且与CA垂直时为最短弦，22||(23)(21)2CA，半弦长22||2rCA，故最短弦长为2211．D如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，-9-平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，设球半径为，则由，得，解得，∴球体积为．12．A据题意画出图形，如图，直线l过A(2,4)，B(－2，－1)，又曲线y＝1＋24x图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r＝2，由22421kk，解得k＝512；当直线l过B点时，直线l的斜率为4122＝34，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为(512，34]13．24底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24．14．43根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是08,02,14,07,4315．(x－2)2＋(y－1)2＝5由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ为直角三角形，∴圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝|PQ|2＝5，因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．16．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的-10-坐标分别为(2，5)，(2，－5)，所以S△OPQ＝12×2×25＝25．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)k≠12，则圆心到直线PQ的距离为d＝|1－2k|k2＋1，且|PQ|＝29－d2，则S△OPQ＝12×|PQ|×d＝12×29－d2×d＝（9－d2）d2≤9－d2＋d222＝92，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝92时，S△OPQ取得最大值92．因为2592，所以S△OPQ的最大值为92，此时，由4k2－4k＋1k2＋1＝92，解得k＝－7或k＝－1，则直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0．-11-17．(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0．若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(4，1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0．综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0．(2)圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，半径r＝a2＋2，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝|0－a＋2a|2＝|a|2．又由|AB|＝23，得2322＋|a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π．18．(1)解由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V＝13×12×2×2×1＝23．(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．19．(1)∵m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，∴cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，∴2cosBsinA＋cosBsinC＋sinBcosC＝0．即2cosBsinA＝－sin(B＋C)＝－sinA．∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosB＝