2021高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合教学案 文 北师大版

-1-第1章集合与常用逻辑用语全国卷五年考情图解高考命题规律把握说明：“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1”指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题.1.考查形式本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现.2.考查内容从考查内容来看，集合主要考查集合的运算，包含集合的交、并、补集运算；常用逻辑用语主要考查充分必要条件的判断、逻辑联结词“且”“或”“非”以及全称量词与存在量词.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①集合的交、并、补集运算问题；②充分条件、必要条件的判断问题；③含有“且”“或”“非”的命题的真假性的判断问题；④含有一个量词的命题的否定问题.(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.-2-第一节集合[最新考纲]1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．(对应学生用书第1页)1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示．(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BAB或BA真子集集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于AAB，存在x0∈B，x0AAB或BA基本关系相等集合A，B的元素完全相同AB，BA⇒A＝BA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x，A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法-3-交集属于A且属于B的元素组成的集合{x|x∈A且x∈B}A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A或x∈B}A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合{x|x∈U，xA}UA[常用结论]1．集合子集的个数对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.2．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔BA.(2)交集的性质：A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔AB.(3)补集的性质：A∪(UA)＝U；A∩(UA)＝；U(UA)＝A；U(A∩B)＝(UA)∪(UB)；U(A∪B)＝(UA)∩(UB)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．若集合A＝{x∈N|x≤22}，a＝2，则下列结论正确的是()A．{a}AB．aAC．{a}∈AD．aAD[由题意知A＝{0,1,2}，由a＝2，知aA.]2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．64[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，∴M∪N的子集有26＝64个．]3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则U(A∪B)＝-4-________.[答案]{x|x是直角}4．方程组x＋y＝1，2x－y＝1的解集为________．23，13[由x＋y＝1，2x－y＝1，得x＝23，y＝13，故方程组的解集为23，13.]5．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.(－2,1)(－∞，3)[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．](对应学生用书第2页)⊙考点1集合的概念与集合中的元素有关的问题的求解思路(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看清元素的限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．1.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4A[由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.]2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．－32[由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－32.]-5-3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.0或98[当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝98.]4．已知a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2020＋b2020＝________.1[由已知得a≠0，则ba＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2020＋b2020＝(－1)2020＋02020＝1.](1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T2，T4.(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如T3.⊙考点2集合的基本关系判断两集合关系的方法(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．(1)(2019·唐山模拟)设集合M＝{x|x2－x＞0}，N＝x1x＜1，则()A．MNB．NMC．M＝ND．M∪N＝R(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件ACB的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，则实数m的取值范围为________．(1)C(2)D(3)(－∞，3][(1)集合M＝{x|x2－x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，N＝x1x＜1＝{x|x＞1或x＜0}，所以M＝N.故答案为C.(2)因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，ACB，则集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．(3)因为BA，所以①若B＝，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.-6-②若B≠，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．][母题探究]1．(变问法)本例(3)中，若BA，求m的取值范围．[解]因为BA，①若B＝，成立，此时m＜2.②若B≠，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m≤3.综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．2．(变问法)本例(3)中，若AB，求m的取值范围．[解]若AB，则m＋1≤－2，2m－1≥5，即m≤－3，m≥3.所以m的取值范围为.3．(变条件)若将本例(3)中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，试求m的取值范围．[解]因为BA，所以①当B＝时，2m－1＜m＋1，即m＜2，符合题意．②当B≠时，m＋1≤2m－1，m＋1＞5或m＋1≤2m－1，2m－1＜－2，解得m≥2，m＞4或m≥2，m＜－12，即m＞4.综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有BA时，应分B＝和B≠两种情况讨论．1.设M为非空的数集，M{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A．6个B．5个C．4个D．3个A[由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．]-7-2．若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且BA，则实数m的取值范围为________．[－2,2)[①若B＝，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，此时B＝2，12，不合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．]⊙考点3集合的基本运算集合运算三步骤集合的运算(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩UA＝()A．{1,6}B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}(2)(2019·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝()A．(－1，＋∞)B．(－∞，2)C．(－1,2)D．(3)(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1}D．{0,1,2}(1)C(2)C(3)A[(1)由题意知UA＝{1,6,7}，又B＝{2,3,6,7}，∴B∩UA＝{6,7}，故选C.(2)∵A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，即A∩B＝(－1,2)．-8-故选C.(3)由题意可知B＝{x|－1≤x≤1}，又∵A＝{－1,0,1,2}，∴A∩B＝{－1,0,1}，故选A.][逆向问题]已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}D[法一：(直接法)因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5B(否则5∈A∩B)，从而5∈UB，则(UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5A.同理，1A,7A，故A＝{3,9}．法二：(Venn图)如图所示．]集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数(1)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3(2)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠，则实数a的取值范围是()A．[－1,2)B．(－∞，2]C．[－1，＋∞)D．(－1，＋∞)(1)B(2)D[(1)由A∪B＝A，得BA，所以m∈A.因为A＝{1,3，m}，所以m＝m或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0.由集合中元素的互异性知m≠1，故选B.(2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠，结合数轴可得a＞－1.-9-]利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)若集合中的元素能一一列举，则