2019-2020学年新教材高中数学 第7章 三角函数 7.3 三角函数的性质与图像 7.3.5 已

17.3.5已知三角函数值求角学习目标核心素养1.掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角．(重点、难点)2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1.已知正弦值，求角对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在－π2，π2上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_y其中－1≤y≤1，－π2≤x≤π2.2.已知余弦值，求角对于余弦函数y＝cosx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos_y(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)．3.已知正切值，求角一般地，如果y＝tanx(y∈R)且x∈－π2，π2，那么对每一个正切值y，在开区间－π2，π2内，有且只有一个角x，使tanx＝y，记为x＝arctan_y－π2＜x＜π2.思考：符号arcsina(a∈[－1,1])arccosa(a∈[－1,1])，arctana(a∈R)分别表示什么？[提示]arcsina表示在区间－π2，π2上，正弦值为a的角；arccosa表示在区间[]0，π上，余弦值为a的角；arctana表示在区间－π2，π2上，正切值为a的角．1.下列说法中错误的是()A．arcsin－22＝－π4B．arcsin0＝0C．arcsin(－1)＝32πD．arcsin1＝π22C[根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－π2，故C项错误．]2.已知α是三角形的内角，且sinα＝32，则α＝()A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π3D[因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sinα＝32时，α＝π3或2π3，故选D．]3.已知tan2x＝－33且x∈[0，π]，则x＝________.5π12或11π12[∵x∈[0，π]，∴2x∈[0,2π]．∵tan2x＝－33，∴2x＝5π6或2x＝11π6，∴x＝5π12或11π12.]已知正弦值求角【例1】已知sinx＝32.(1)当x∈－π2，π2时，求x的取值集合；(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；(3)当x∈R时，求x的取值集合．[思路探究]尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．[解](1)∵y＝sinx在－π2，π2上是增函数，且sinπ3＝32，∴x＝π3，∴π3是所求集合．(2)∵sinx＝32＞0，∴x为第一或第二象限角，且sinπ3＝sinπ－π3＝32，∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝π3或x＝23π，3∴x的取值集合为π3，2π3.(3)当x∈R时，x的取值集合为xx＝2kπ＋π3，或x＝2kπ＋2π3，k∈Z.1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．2.对于已知正弦值求角有如下规律：sinx＝a(|a|≤1)x∈－π2，π2x∈[0,2π]x＝arcsina0≤a≤1－1≤a＜0x1＝arcsinax2＝π－arcsinax1＝π－arcsinax2＝2π＋arcsina1.已知sinα＝35，根据所给范围求角α.(1)α为锐角；(2)α∈R.[解](1)由于sinα＝35，且α为锐角，即α∈0，π2，所以α＝arcsin35.(2)由于sinα＝35，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋arcsin35(k∈Z)，α2＝2kπ＋π－arcsin35(k∈Z)，即α＝nπ＋(－1)narcsin35(n∈Z).已知余弦值求角【例2】已知cosx＝－13.(1)当x∈[0，π]时，求值x；(2)当x∈R时，求x的取值集合．[思路探究]解答本题可先求出定义arccosa的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．4[解](1)∵cosx＝－13且x∈[0，π]，∴x＝arccos－13.(2)当x∈R时，先求出x在[0,2π]上的解．∵cosx＝－13，故x是第二或第三象限角．由(1)知x＝arccos－13是第二象限角，又cos2π－arccos－13＝cosarccos－13＝－13，且2π－arccos－13∈π，32π，所以，由余弦函数的周期性知，当x＝arccos－13＋2kπ或x＝2π－arccos－13＋2kπ(k∈Z)时，cosx＝－13，即所求x值的集合是xx＝2kπ±arccos－13，k∈Z.cosx＝a－1≤a≤1，当x∈[0，π]时，则x＝arccosa，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccosa，k∈Z}.2.已知cosx＝－22且x∈[0,2π)，求x的取值集合．[解]由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x是第二或第三象限角，由cosπ－π4＝－cosπ4＝－22，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－π4＝3π4.又cosπ4＋π＝－cosπ4＝－22，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x＝π4＋5π＝5π4.故所求角的集合为3π4，5π4.已知正切值求角【例3】已知tanα＝－3.(1)若α∈－π2，π2，求角α；(2)若α∈R，求角α.[思路探究]尝试由arctanα的范围及给值求角的步骤求解．[解](1)由正切函数在开区间－π2，π2上是增函数可知，符合条件tanα＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3)．(2)α＝kπ＋arctan(－3)(k∈Z)．1.已知角的正切值求角，可先求出－π2，π2内的角，再由y＝tanx的周期性表示所给范围内的角．2.tanα＝a，a∈R的解集为{α|α＝kπ＋arctana，k∈Z}．3.已知tanx＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.[解]∵tanx＝－1＜0，∴x是第二或第四象限角．由tan－π4＝－tanπ4＝－1可知，所求符合条件的第四象限角为x＝－π4.又由tan－54π＝－tanπ4＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－54π，∴在[－2π，0]内满足条件的角是－π4与－5π4.三角方程的求解[探究问题]1.已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？[提示]不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内6有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．2.怎样求解三角方程？[提示]明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsina或arccosa或arctana表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角．【例4】若cosx＝cosπ7，求x的值．[思路探究]先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角．[解]在同一个周期[－π，π]内，满足cosx＝cosπ7的角有两个：π7和－π7.又y＝cosx的周期为2π，所以满足cosx＝cosπ7的x为2kπ±π7(k∈Z)．已知三角函数值求角的步骤：1由三角函数值的符号确定角的象限；2求出[0，2π上的角；3根据终边相同的角写出所有的角.4．已知sinx＝22，且x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．π4，3π4[∵x∈[0,2π]，且sinx＝22＞0，∴x∈(0，π)，当x∈0，π2时，y＝sinx递增且sinπ4＝22，∴x＝π4，又sinπ－π4＝sin3π4＝22，∴x＝3π4也符合题意．∴x的取值集合为π4，3π4.]1.反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围7名称反正弦反余弦反正切记法arcsinαarccosαarctanα取值范围－π2，π2[0，π]－π2，π22.已知三角函数值求角的步骤一、定象限；二、找锐角；三、写x∈[0,2π]的角；四、给答案．3.若求得的角是特殊角，最好用弧度表示．1.已知cosx＝－22，π＜x＜2π，则x＝()A．3π2B．5π4C．4π3D．7π4B[因为x∈(π，2π)且cosx＝－22，∴x＝5π4.]2.函数y＝3－2x＋π－arccos(2x－3)的定义域是________．1，32[由题意可得3－2x≥0－1≤2x－3≤1，解得1≤x≤32，所以函数的定义域为1，32.]3.等腰三角形的一个底角为α，且sinα＝35，用含符号arcsinx的关系式表示顶角β＝________.π－2arcsin35[由题意，α∈0，π2，又sinα＝35，所以π6απ4，π32απ2，π2π－2α2π3，所以β＝π－2arcsin35.]4．求值：arcsin32－arccos－12arctan－3.[解]arcsin32＝π3，arccos－12＝2π3，8arctan(－3)＝－π3，∴原式＝π3－2π3－π3＝1.