2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.

1第1课时两角和与差的正弦学习目标核心素养1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)1.通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．2.借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1.两角和与差的正弦公式(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(2)Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.2.辅助角公式f(x)＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝aa2＋b2，sinθ＝ba2＋b2.思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？[提示]对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，加减相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，加减相同”．1.cos17°sin13°＋sin17°cos13°的值为()A．12B．22C．32D．以上都不对A[原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12.]2.函数y＝sinx－cosx的最小正周期是()A．π2B．πC．2πD．4πC[y＝sinx－cosx＝222sinx－22cosx＝2sinx－π4，∴函数的最小正周2期为T＝2π.]3.已知α为锐角，sinα＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45，则sin(α＋β)＝________.0[∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝45.又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cosβ＝－45，∴cosβ＝45，sinβ＝－35.∴sin(α＋β)＝35×45＋45×－35＝0.]利用公式化简求值【例1】(1)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C．12D．32(2)求sin157°cos67°＋cos23°sin67°的值．(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．[思路探究](1)化简求值应注意公式的逆用．(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．(1)C[sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.](2)[解]原式＝sin(180°－23°)cos67°＋cos23°sin67°＝sin23°cos67°＋cos23°sin67°＝sin(23°＋67°)＝sin90°＝1.(3)[解]sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)3＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°)·cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．1.化简下列各式：(1)sinx＋π3＋2sinx－π3－3cos2π3－x；(2)sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)．[解](1)原式＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3－2cosxsinπ3－3cos2π3cosx－3sin2π3sinx＝12sinx＋32cosx＋sinx－3cosx＋32cosx－32sinx＝12＋1－32sinx＋32－3＋32cosx＝0.(2)原式＝sin[α＋β＋α]－2cosα＋βsinαsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα.给值(式)求值4【例2】设α∈π2，π，β∈3π2，2π，若cosα＝－12，sinβ＝－32，求sin(α＋β)的值．[思路探究]应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．[解]因为α∈π2，π，cosα＝－12，所以sinα＝32，因为β∈3π2，2π，sinβ＝－32，所以cosβ＝12.所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝32×12＋－12×－32＝32.1.(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．[解]sin(α－β)＋cos(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝32×12－－12×－32＋－12×12＋32×－32＝34－34－14－34＝－1.2.(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？[解]因为α∈π2，π，cosα＝－12，所以sinα＝32.因为β为第三象限，所以cosβ＝－12.所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝32×－12＋－12×－32＝－34＋34＝0.1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．辅助角公式的应用[探究问题]51.函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？[提示]不对．因为sinx＋cosx＝222sinx＋22cosx＝2sinx·cosπ4＋cosx·sinπ4＝2sinx＋π4，所以函数的最大值为2.2.函数f(x)＝3sinx＋4cosx的最大值等于多少？[提示]因为f(x)＝3sinx＋4cosx＝535sinx＋45cosx，令cosφ＝35，sinφ＝45，则f(x)＝5(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝5sin(x＋φ)，所以函数的最大值为5.3.如何推导asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)tanφ＝ba公式？[提示]asinx＋bcosx＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx，令cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，则asinx＋bcosx＝a2＋b2(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ＝ba确定，或由sinφ＝ba2＋b2和cosφ＝aa2＋b2共同确定)．【例3】设函数f(x)＝sinx＋sinx＋π3.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变化得到．[思路探究]辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．[解](1)f(x)＝sinx＋sinxcosπ3＋cosxsinπ3＝sinx＋12sinx＋32cosx＝32sinx＋32cosx6＝3sinxcosπ6＋cosxsinπ6＝3sinx＋π6，当sinx＋π6＝－1时，f(x)min＝－3，此时x＋π6＝3π2＋2kπ(k∈Z)，所以x＝4π3＋2kπ(k∈Z)．所以f(x)的最小值为－3，x的集合为xx＝4π3＋2kπ，k∈Z.(2)将y＝sinx的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得y＝3sinx的图像；然后将y＝3sinx的图像上所有的点向左平移π6个单位长度，得f(x)＝3sinx＋π6的图像.(变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？[解]由本例解析知函数可化为f(x)＝3sinx＋π6，当2kπ－π2≤x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，即2kπ－2π3≤x≤2kπ＋π3(k∈Z)时，函数为增函数；当2kπ＋π2≤x＋π6≤2kπ＋3π2，即2kπ＋π3≤x≤2kπ＋4π3(k∈Z)时，函数为减函数．所以函数f(x)的单调增区间为2kπ－2π3，2kπ＋π3(k∈Z)，函数f(x)的单调减区间为2kπ＋π3，2kπ＋4π3(k∈Z)．1.把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求解．2.函数图像可通过y＝sinx→y＝sinx＋π6→y＝73sinx＋π6的顺序得到．1.两角和与差的正弦公式的结构特点(1)公式中的α，β均为任意角．(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．2.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系3.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.1.若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝()A．－7210B．7210C．－210D．210A[∵cosα＝－45，α为第三象限角，∴sinα＝－35，由两角和的正弦公式得sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosα·sinπ4＝－35×22＋－45×22＝－7210.]2.函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()A．[－2,2]B．[]－3，3C．[－1,1]D．－32，32B[f(x)＝sinx－cosx＋π6＝sinx－32cosx＋812sinx＝32sinx－32cosx＝3sinx－π6，所以函数f(x)的值域为[－3，3]．故选B．]3.sin155°cos35°－cos25°cos235°＝________.32[原式＝sin25°cos35°＋cos25°sin35°＝sin(25°＋35°)＝sin60°＝32.]4．已知α，β均为锐角，sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β.[解]∵α，β均为锐角，sinα＝55，cosβ＝1010，∴sinβ＝31010，cosα＝255.∵sinαsinβ，∴αβ，∴－π2α－β0，∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.