2021版高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 函数的奇偶性与周期性教学案 苏教版

-1-第三节函数的奇偶性与周期性[最新考纲]1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a＞0)；(3)f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a＞0)．-2-一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．()(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－xB[A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.]2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.－2[f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x＜0，x，0≤x＜1，则f32＝________.1[f32＝f－12＝－4×－122＋2＝1.]4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．(－2,0)∪(2,5][由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.-3-综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]考点1判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称．(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝3－x2＋x2－3；②f(x)＝lg1－x2|x－2|－2；③f(x)＝x2＋x，x＜0，－x2＋x，x＞0.(1)C[令F1(x)＝f(x)·g(x)，则F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F1(x)，∴f(x)g(x)为奇函数，故A错误．令F2(x)＝|f(x)|g(x)，则F2(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误．令F3(x)＝f(x)|g(x)|，则F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)为奇函数，故C正确．令F4(x)＝|f(x)g(x)|，则F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误．]-4-(2)[解]①由3－x2≥0，x2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．②由1－x2＞0，|x－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg1－x2－x.又∵f(－x)＝lg[1－－x2]x＝－lg1－x2－x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．判断函数的奇偶性，其中包括2个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．1.(2019·福州模拟)下列函数为偶函数的是()A．y＝tanx＋π4B．y＝x2＋e|x|C．y＝xcosxD．y＝ln|x|－sinxB[对于选项A，易知y＝tanx＋π4为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcosx，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以y＝xcosx为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sinx，则f(2)＝ln2－sin2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sinx为非奇非偶函数，故选B.]2．设函数f(x)＝ex－e－x2，则下列结论错误的是()-5-A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数D[∵f(x)＝ex－e－x2，则f(－x)＝e－x－ex2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]考点2函数奇偶性的应用利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式．由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值．利用奇偶性求参数的值[一题多解]若函数f(x)＝x312x－1＋a为偶函数，则a的值为________．12[法一：(定义法)因为函数f(x)＝x312x－1＋a为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)312－x－1＋a＝x312x－1＋a，所以2a＝－12－x－1＋12x－1，所以2a＝1，解得a＝12.法二：(特值法)因为函数f(x)＝x312x－1＋a为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×12－1－1＋a＝13×121－1＋a，解得a＝12，经检验，当a＝12时，函数f(x)为偶函数．]已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得参数后，一定要注意验证．利用函数的奇偶性求值-6-(1)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝()A．－12B.12C．2D．－2(2)已知函数f(x)＝2|x|＋1＋x3＋22|x|＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于()A．0B．2C．4D．8(3)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.(1)B(2)C(3)－3[(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，又当x＞0时，f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝12，即f(－2)＝12.(2)f(x)＝2·2|x|＋1＋x32|x|＋1＝2＋x32|x|＋1，设g(x)＝x32|x|＋1，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.(3)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，则f(ln2)＝e－aln2＝8，∴－aln2＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln2)＝－fln12＝－(－ealn12)＝8，∴aln12＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.]利用奇偶性将所求值转化为已知区间上的函数值．求函数解析式函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________．f(x)＝2x，x＜00，x＝0－2－x，x＞0[当x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.-7-又y＝f(x)的定义域为R且为奇函数，∴f(0)＝0.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2x，x＜0，0，x＝0，－2－x，x＞0.]不要忽视x＝0时的解析式．1.若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________.±1[若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即k－2－x1＋k·2－x＝－k－2x1＋k·2x，化简得(k2－1)(22x＋1)＝0，即k2－1＝0，解得k＝±1.]2．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．3[f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2，①f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4，②由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.]3．(2019·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.0[设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.]考点3函数的周期性及其应用函数周期性的