2021版高考数学一轮复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.4 数系的扩充与复数的引入

-1-第四节数系的扩充与复数的引入[最新考纲]1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量OZ→＝(a，b)．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[常用结论]1．(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．-2-3．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|，|zn|＝|z|n.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1A[∵z为纯虚数，∴x2－1＝0，x－1≠0，∴x＝－1.]2．在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4iD[∵CA→＝CB→＋BA→＝CB→－AB→＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]3．设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|等于()A．1B.2C.3D．2A[1＋z1－z＝i，则z＝i－11＋i＝i，∴|z|＝1.]4．已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝.2＋i[由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i5＝2－i.∴z＝2＋i.]-3-考点1复数的概念复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．1.若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为()A．－1B．0C．1D．2C[由纯虚数的概念得m2－m＝0，m≠0，得m＝1，故选C.]2．(2019·长沙模拟)已知i为虚数单位，若复数z＝a1－2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝()A．－5B．－1C．－13D．－53D[z＝a1－2i＋i＝a1＋2i1－2i1＋2i＋i＝a5＋2a＋55i，因为复数z＝a1－2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－a5＝2a＋55，解得a＝－53.故选D.]3．(2019·唐山模拟)已知z1－i＝2＋i，则z(z的共轭复数)为()A．－3－iB．－3＋iC．3＋iD．3－iC[由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以z＝3＋i，故选C.]4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B.12C．1D.2C[法一：因为z＝1－i1＋i＋2i＝1－i21＋i1－i＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.法二：因为z＝1－i1＋i＋2i＝1－i＋2i1＋i1＋i＝－1＋i1＋i，所以|z|＝－1＋i1＋i＝|－1＋i||1＋i|-4-＝22＝1，故选C.]解决此类时，一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点2复数的运算复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式．(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i(2)计算：2＋i1－i21－2i＝()A．2B．－2C．2iD．－2i(3)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为z，若z(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝()A．iB．i－1C．－i－1D．－i(4)(2019·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝()A．－iB．iC．1－iD．1＋i(1)D(2)A(3)C(4)B[(1)由题意得z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝1＋i，故选D.(2)2＋i1－i21－2i＝－2＋i2i1－2i＝2－4i1－2i＝2，故选A.(3)由已知可得z＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.(4)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋a2＋b2)＋bi＝1＋i，所以a＋a2＋b2＝1，b＝1，解得a＝0，b＝1，所以z＝i，故选B.法二：把各选项代入验证，知选项B满足题意．]-5-(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.1.(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋iD[(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.]2．对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i；③αβ＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4C[αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；αβ＝1－i1＋i＝1－i21＋i1－i＝－i，②正确；αβ＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正确．]3．(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1－iD．－1＋iC[由题意，得z＝1i－1＝－1－i，故选C.]4．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则a＋i20201＋i＝()A．1B．0C．1＋iD．1－iD[z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，则有1＋i20201＋i＝1＋11＋i＝21－i1＋i1－i＝1－i.]考点3复数的几何意义与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．-6-(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)(1)C(2)C(3)A[(1)设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P，则P(0,1)，且|z－i|表示复平面内点Z与点P之间的距离，所以点Z(x，y)到点P(0,1)的距离为定值1，所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故选C.(2)∵z＝－3＋2i，∴z＝－3－2i，∴在复平面内，z对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以m＋3＞0，m－1＜0，解得－3＜m＜1，故选A.]复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1·z2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限-7-D[由已知OA→＝(－2，－1)，OB→＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]2．若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为．2π[设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤2得|x＋(y－1)i|≤2，所以x2＋y－12≤2，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.]3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是．1[由条件得OC→＝(3，－4)，OA→＝(－1,2)，OB→＝(1，－1)，根据OC→＝λOA→＋μOB→得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4解得λ＝－1，μ＝2，所以λ＋μ＝1.]