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-1-黑龙江省哈尔滨市尚志市尚志中学2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试题理一、选择题(每小题5分,共60分)1.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()A.118B.19C.16D.1122.设xR,则“250xx”是“|1|1x”的()A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.椭圆22194xy的离心率是()A.133B.53C.23D.594.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A.0B.1C.2D.35.某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生6.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,-2-不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差7.若双曲线22221xyab的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.538.用秦九韶算法求多项式1235879653)(23456xxxxxxxf在4x时的值时,其中4v的值为()A.-57B.124C.-845D.2209.为计算11111123499100S…,设计了如图所示的程序框图,则在空白框中应填入()A.1iiB.2iiC.3iiD.4ii10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.11811.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.2212.已知12,FF是椭圆22221(0)xyCabab:的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A-3-且斜率为36的直线上,12PFF△为等腰三角形,12120FFP,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14二、填空题(每小题5分,共20分)13.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_______.14.已知命题p:若xy,则-x-y;命题q:若xy,则22xy.在命题①pq②pq③()pq④()pq中,真命题是__________.15.尚祥学校早上7:40上课,假设该校学生小付与小马在早上7:00—7:20之间到校,且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的,则小付比小马至少早5分钟到校的概率为_________.(用数字作答)16.已知F是抛物线C:28yx的焦点,是C上一点,F的延长线交y轴于点.若为F的中点,则FN.三、解答题(17题10分,18~22题12分,共70分)17.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:3m)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;-4-(2)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)18.设有关于x的一元二次方程2220xaxb.(Ⅰ)若a是从0123,,,四个数中任取的一个数,b是从012,,三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.(Ⅱ)若a是从区间[03],任取的一个数,b是从区间[02],任取的一个数,求上述方程有实根的概率.19.某地区2013年至2019年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2013201420152016201720182019年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入.-5-附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:121niiiniittyybtt,ˆˆaybt20.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且90BAPCDP.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,90APD,求二面角A-PB-C的余弦值.21.如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,o1,90,2ABBCADBADABCE是PD的中点.(1)证明:直线//CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为o45,求二面角MABD的余弦值.-6-22.已知点A(−2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证明:PQG是直角三角形;(ii)求PQG面积的最大值.-7-理科数学试题答案一、选择题1B2A3B4C5C6A7D8D9B10C11C12D二、填空题13.0.9814.②③15.93216.6三、解答题17.【解析】(1)(2)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.50x=???????该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.50x=??????估计使用节水龙头后,一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m)-?.18.【解析】设事件A为“方程2220xaxb有实根”.当0a,0b时,方程2220xaxb有实根的充要条件为ab.(Ⅰ)基本事件共12个:(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率为93()124PA.(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为()|0302abab,,.构成事件A的区域为()|0302ababab,,,.如图所以所求的概率为2132222()323PA.19.【解析】(Ⅰ)由所给数据计算得1(1234567)47t1(2.93.33.64.44.85.25.9)4.37y721()941014928iitt71()()iiittyy(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614-8-7121140.528iiiniittyybtt,ˆˆ4.30.542.3aybt所求回归方程为0.52.3yt;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,0.50b,故2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2021年的年份代号9t代入(Ⅰ)中的回归方程,得0.592.36.8y,故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.20.【解析】(1)由已知90BAPCDP,得ABAP,CDPD由于//ABCD,故ABPD,APPDP,从而AB平面PAD又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD;(2)在平面PAD内作PFAD,垂足为F,由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD,以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,||AB为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz由(1)及已知可得2222(,0,0),(0,0,),(,1,0),(,1,0)2222APBC,所以2222(,1,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0)2222PCCBPAAB,设(,,)nxyz是平面PCB的法向量,则0,0nPCnCB即220,220xyzx可取(0,1,2)n,设(,,)mxyz是平面PAB的法向量,则0,0mPAmAB即220,220xzy可取(1,0,1)m,则3cos,3||||nmnmnm,由图形可知二面角APBC为钝角,-9-所以二面角APBC的余弦值为33.21.【解析】(1)取PA的中点F,连接,EFBF,因为E是PD的中点,所以//EFAD,12EFAD由90BADABC得//BCAD,又12BCAD,所以=EFBCEFBC,,四边形BCEF是平行四边形,//CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故//CE平面PAB;(2)由已知得BAAD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,||AB为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,3)ABCP,(1,0,3),(1,0,0)PCAB设(,,)(01)Mxyzx,则(1,,),(,1,3)BMxyzPMxyz因为BM与底面ABCD所成的角为45,而(0,0,1)n是底面ABCD的法向量,所以222||2|cos,|sin45,2(1)zBMnxyz,即222(1)0xyz①又M在棱PC上,设PMPC,则,1,33xyz②由①,②解得21,21,62xyz(舍去),21,21,62xyz所以26(1,1,)22M,从而26(1,1,)22AM,-10-设000(,,)mxyz是平面ABM的法向量,则0,0,mAMmAB即0000(22)260,0,xyzx所以可取(0,6,2)m,于是10cos,5||||mnmnmn,由图形可知二面角MABD为锐角,因此二面角MABD的余弦值为105.22.【解析】(1)由题设得1222yyxx,化简得221(||2)42xyx,所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为(0)ykxk.由22142ykxxy得2212xk.记2212uk,则(,),(,),(,0)PuukQuukEu.于是直线QG的斜率为2k,方程为()2kyxu.由22(),2142ky
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