2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习讲义 新人教A版选修2-1

-1-第三章空间向量与立体几何知识系统整合规律方法收藏一、空间向量及其运算1．空间向量的概念(1)在空间，具有方向和大小的量叫做向量．零向量是方向任意、大小为零的向量．两个向量相等的充要条件是它们的方向相同且大小相等．(2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示．向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础．2．空间向量的运算(1)空间向量可以进行加、减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律．(2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义．3．空间向量中的一些重要结论(1)空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)；a⊥b⇔a·b＝0.(2)空间向量共面的充要条件：p，a，b共面⇔p＝xa＋yb(a，b不共线，x，y∈R)．(3)空间向量基本定理：给定空间一个基底{a，b，c}，对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc.-2-(4)空间向量的数量积及夹角公式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.二、空间向量的坐标表示1．空间坐标系这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组单位正交基底{a，b，c}按右手系排列，各坐标轴的正方向与a，b，c同向．2．向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；λa＝(λa1，λa2，λa3)；AB→＝OB→－OA→＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；a⊥b⇒a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；a∥b⇒a＝λb⇔a1b1＝a2b2＝a3b3(b1，b2，b3≠0)．3．有关公式(1)模：|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；(2)夹角：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23；(3)两点间距离：|AB|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.三、运用向量方法研究平行与垂直1．线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．2．线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即a⊥b⇔a·b＝0.3．线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)在平面内找到一个与直线方向向量共线的向量；(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．4．线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：(1)证明直线方向向量与平面的法向量平行；-3-(2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．5．面面平行(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；(2)转化为线面平行、线线平行问题．6．面面垂直(1)证明两个平面的法向量互相垂直；(2)转化为线面垂直、线线垂直问题．四、用向量方法求空间角和距离1．求两异面直线所成角利用公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0，π2，故实质上应有：cosθ＝|cos〈a，b〉|.2．求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|.3．求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．4．点到平面的距离的求法点P到它在一个平面α内射影的距离，叫做点P到这个平面α的距离．若A为平面α内任一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝|PA→·n||n|.学科思想培优一、空间向量及其运算本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向量的分解定理，两个向量的数量积，这是学习立体几何的基础，也是立体几何的重点内容，通过本部分的学习我们就可很方便地使用向量工具，证明线与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何问题转化为向量代数运算．1．向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体-4-几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求．[典例1]如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.解(1)∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.(3)∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c，又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，∴MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.拓展提升-5-解决空间向量线性运算问题的方法及技巧(1)进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．(2)和空间向量的线性运算相关的结论①位置向量：AB→＝OB→－OA→.②在平行六面体ABCD－A1B1C1D中，有AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→.③若G为△ABC的重心，则AG→＋BG→＋CG→＝0.④若O为空间中任意一点，则a．点P是线段AB中点的充要条件是OP→＝12(OA→＋OB→)；b．若G为△ABC的重心，则OG→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．2．空间向量的数量积正确运用数量积公式及性质求角及距离．(1)向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)向量的数量积的性质：①a·e＝|a||e|cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③|a|2＝a·a.[典例2]如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．解∵∠ACD＝90°，∴AC→·CD→＝0.同理AC→·BA→＝0.∵AB与CD成60°角，-6-∴〈BA→，CD→〉＝60°或120°.又∵BD→＝BA→＋AC→＋CD→，∴|BD→|2＝BD→·BD→＝|BA→|2＋|AC→|2＋|CD→|2＋2BA→·AC→＋2BA→·CD→＋2AC→·CD→＝3＋2×1×1×cos〈BA→，CD→〉．当〈BA→，CD→〉＝60°时，BD→2＝4；当〈BA→，CD→〉＝120°时，BD→2＝2.∴|BD→|＝2或2，即B，D间的距离为2或2.拓展提升(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如|a|2＝a2，a在b上的投影a·b|b|等．3．共线向量、共面向量运用共线向量的充要条件和共面向量的充要条件可以解决立体几何中的平行问题和共面问题．[典例3]如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．(1)向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)因为AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→.所以MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝kC1A→＋AB→＋kBC→＝k(C1A→＋BC→)＋AB→＝k(C1A→＋B1C1→)＋AB→-7-＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→＝AB→－k(AA1→＋AB→)＝(1－k)AB→－kAA1→，所以由共面向量的充要条件知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知MN→与AB→，AA1→共面，所以MN∥平面ABB1A1.拓展提升(1)空间向量的数乘运算、平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是一致的．(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→.二、立体几何中的向量方法空间向量要解决的问题主要是用空间向量的方法解决立体几何中的基本问题，根据问题的特点，以适当的方式(如构建向量，建立空间直角坐标系)利用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系(平行、垂直、角和距离)，最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何问题．1．利用向量证明平行问题若直线a⊄平面α，其方向向量为a，平面α的法向量是n，且a⊥n，则a∥α.若u，v分别是平面α，β的法向量，且u∥v，则α∥β.[典例4]已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AD1∥平面BDC1.证明以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，AD1→＝(－1,0,1)，-8-设n＝(x，y，z)为平面BDC1的法向量，则n⊥DB→，n⊥DC1→，所以x，y，z·1，1，0＝0，x，y，z·0，1，1＝0，即x＋y＝0，y＋z＝0，令x＝1，则n＝(1，－1,1)，n·AD1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，故n⊥AD1→，又AD1⊄平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.拓展提升利用空间向量证明空间中的平行关系(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线面平行①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个与直线的方向向量共线的向量；③利用共面向量的充要条件，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(3)面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．2．利用向量证明垂直问题用向量法证线面垂直，一是通过数量积证直线的方向向量与平面内的两个不共线向量垂直，二是证平面的法向量与直线的方向向量平行；证面面垂直可证两个平面的法向量垂直．[典例5]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：直线PB1⊥平面PAC.-9-证明建立如图所示的空间直角坐标系，则C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1，1,2)，PC→＝(1,0，－1)，PA→＝(0,1，－1)，PB1→＝(1,1,1)．因为PB1→·PC→＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以PB1→⊥PC