2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的简单几何

-1-2．4.2抛物线的简单几何性质1．抛物线的简单几何性质※2.焦半径与焦点弦[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求，学有余力的学生可选择性记忆]□20抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，□21过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)-2-焦半径|PF||PF|＝x0＋p2|PF|＝□22p2－x0|PF|＝□23y0＋p2|PF|＝□24p2－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝□25p－x1－x2|AB|＝□26y1＋y2＋p|AB|＝□27p－y1－y2※3.通径[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求]通过抛物线的焦点作垂直于对称轴交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y2＝2px(p0)，由Ap2，p，Bp2，－p，可得|AB|＝2p，故抛物线的通径长为2p.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．()(2)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线．()(3)抛物线是轴对称图形．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)顶点在原点，对称轴为y轴且过点(4,1)的抛物线方程是_______________．(2)已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p0)的焦点的距离是5，则p＝________.(3)抛物线y＝2px2(p0)的对称轴为__________________________________．(4)(教材改编P72T3)过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________．答案(1)x2＝16y(2)4(3)y轴(4)16解析(4)由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2.代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.-3-∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.探究1抛物线的简单几何性质例1(1)已知抛物线y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[解](1)抛物线y2＝8x，p＝4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)椭圆的方程可化为x24＋y29＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3或x＝3.拓展提升与抛物线几何性质相关问题的求解策略(1)求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解．(2)几何性质中范围的应用，经常出现在求最值中，解题时可设出抛物线上点的坐标，结合抛物线的范围求解．【跟踪训练1】如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴．(1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程；-4-(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e.解(1)如图，设AB⊥x轴于E，则由AB＝2得E(3，0)，∴A(3，1)．设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则1＝2·p·3，∴2p＝33.∴抛物线方程为y2＝33x.(2)由(1)知2p＝33，∴p2＝312，∴抛物线的准线方程为x＝－312，焦点坐标为312，0，离心率e＝1.探究2抛物线的焦点弦问题例2已知AB是抛物线y2＝2px(p0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为θ.求证：(1)|AB|＝2x0＋p2；(2)|AB|＝2psin2θ；(3)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(4)1|AF|＋1|BF|为定值2p；-5-(5)S△AOB＝p22sinθ.[证明](1)∵x1＋x2＝2x0，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2x0＋p2.(2)(ⅰ)当θ≠90°时，设直线AB的方程为y＝kx－p2(k≠0)．由y＝kx－p2，y2＝2px，消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p24＝0，∴x1＋x2＝1＋2k2p.又k＝tanθ＝sinθcosθ，代入|AB|＝x1＋x2＋p，得|AB|＝sin2θ＋2cos2θsin2θ·p＋p＝2psin2θ.(ⅱ)当θ＝90°时，直线AB的方程为x＝p2，此时|AB|＝2p，也满足|AB|＝2psin2θ，综上，|AB|＝2psin2θ.(3)由(2)得x1x2＝p24(定值)．∴y21y22＝4p2x1x2＝p4.∵y1y20，∴y1y2＝－p2(定值)．(4)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，∴1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x2＋p2＋x1＋p2x1＋p2x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24-6-＝x1＋x2＋pp24＋p2x1＋x2＋p24＝x1＋x2＋pp2x1＋x2＋p＝2p(定值)．-7-(5)如图，∵抛物线方程为y2＝2px(p0)．∴其焦点F的坐标为p2，0.∴S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝12|OF|·|AF|·sin(π－θ)＋12|OF|·|BF|·sinθ＝12·p2·sinθ·|AB|.由(2)知，|AB|＝2psin2θ，∴S△AOB＝p22sinθ.拓展提升抛物线焦点弦问题的求解方法解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．【跟踪训练2】已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．解(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3.又F32，0，所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32，消去y得x2－5x＋94＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋-8-x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－32，所以M到准线的距离等于3＋32＝92.探究3抛物线中的定值、定点问题例3已知抛物线x2＝2py(p0)，其焦点F到准线的距离为1.过F作抛物线的两条弦AB和CD(点A，C在第一象限)，且M，N分别是AB，CD的中点．(1)若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；(2)设直线AC的斜率为kAC，直线BD的斜率为kBD，且kAC＋4kBD＝0，求证：直线AC过定点，并求此定点．[解](1)抛物线的方程为x2＝2y，设AB的方程为y＝kx＋12，联立y＝kx＋12，x2＝2y，得x2－2kx－1＝0，Mk，k2＋12，同理N－1k，1k2＋12，∴S△FMN＝12|FM|·|FN|＝12k2＋k4·1k2＋1k4＝122＋k2＋1k2≥1.当且仅当k＝±1时，△FMN的面积取最小值1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，AB的方程为y＝kx＋12，联立y＝kx＋12，x2＝2y得x2－2kx－1＝0，∴x1x2＝－1，同理，x3x4＝－1，故kAC＋4kBD＝y1－y3x1－x3＋4·y2－y4x2－x4＝12x21－x23x1－x3＋4·12x22－x24x2－x4＝12(x1＋x3)＋2·(x2＋x4)＝12(x1＋x3)－2·1x1＋1x3＝(x1＋x3)12－2x1x3＝0.-9-注意到点A，C在第一象限，x1＋x3≠0，故得x1x3＝4，直线AC的方程为y－x212＝x1＋x32(x－x1)，化简得y＝x1＋x32x－x1x32即y＝x1＋x32x－2.所以直线AC恒经过点(0，－2)．拓展提升直线与抛物线位置关系的判断方法判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项的系数是否为0.另外，在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解此类问题的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线．【跟踪训练3】如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．证明设kAB＝k(k≠0)，∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴kAC＝－k(k≠0)，即直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.由方程组y＝kx－4＋2，y2＝x，消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，∴4·xB＝16k2－16k＋4k2，即xB＝4k2－4k＋1k2，以－k代换xB中的k，得xC＝4k2＋4k＋1k2，-10-∴kBC＝yB－yCxB－xC＝kxB－4＋2－[－kxC－4＋2]xB－xC＝kxB＋xC－8xB－xC＝k8k2＋2k2－8－8kk2＝－14.∴直线BC的斜率为定值．探究4与抛物线有关的最值问题例4求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．[解]设A(t，－t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝|4t－3t2－8|5＝|3t2－4t＋8|5＝153t－232－43＋8＝153t－232＋203＝35t－232＋43.∴当t＝23时，d有最小值43.[解法探究]此题有没有其他解法呢？解如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0(m≠－8)，由y＝－x2，4x＋3y＋m＝0，消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－43.∴最小距离为－8＋435＝2035＝43.拓展提升解决与抛物线有关的最值问题的思路求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距-11-离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决．【跟踪训练4】如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.(1)证明：直线AB必过一定点；(2)求△AOB面积的最小值．解(1)证明：显然直线OA存在斜率且不等于0