2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方

-1-2．4.1抛物线及其标准方程1．抛物线的定义□01平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.□02点F叫做抛物线的焦点，□03直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．()(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．()答案(1)√(2)√(3)×-2-2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为________________；准线方程为__________________．(2)若抛物线的方程为x＝2ay2(a0)，则焦点到准线的距离p＝________.(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为___________________________．(4)(教材改编P67T3(2))抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是________．答案(1)(1,0)x＝－1(2)14a(3)x2＝8y(4)(4，±4)解析(4)设P点的坐标为(x0，y0)，由题意得x0＋1＝5，x0＝4，∴y20＝16，y0＝±4，∴P点坐标为(4，±4)．探究1抛物线的标准方程例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．[解](1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p0)，则将点(－3,2)代入方程得2p＝43或2p＝92，∴所求的抛物线方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)当焦点在y轴上时，令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，∴抛物线的焦点为F(0，－2)，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则由p2＝2得2p＝8，∴所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点在x轴上时，同理得y2＝16x.[条件探究]如果把例1(1)中的“点(－3,2)”改为“点(1,2)”如何解答？解解法一：点(1,2)在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，则22＝2p·1，解得p＝2，抛物线方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝2py(p0)，则12＝2p·2，解得p＝14，抛物线方程为x2＝12y.解法二：设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1,2)代入，得m＝4，n＝12.故所求的方程为y2＝4x或x2＝12y.-3-拓展提升求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程．【跟踪训练1】根据下列条件，求抛物线的标准方程：(1)焦点到准线的距离是4；(2)准线方程为y＝23.解(1)p＝4，抛物线的标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.(2)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且p2＝23，则p＝43，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－83y.探究2抛物线的定义及其应用例2(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B．1C.54D.74(2)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8(3)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．[解析](1)∵y2＝x的准线方程为l：x＝－14，由题意得|AF|，|BF|分别为A，B到准线l的距离d1，d2(如图所示)．-4-则线段AB的中点到准线的距离d＝d1＋d22＝32，∴线段AB的中点到y轴的距离为d＝32－14＝54.故选C.(2)由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1，故选A.(3)如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝3＋12＝72.此时yP＝2，代入抛物线方程得xP＝2，∴P点坐标为(2,2)．[答案](1)C(2)A(3)见解析[结论探究]如果例2(3)的问题改为“求点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值”，如何解答？解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离．由图可知，-5-当点P，A(0,2)，和抛物线的焦点F12，0三点共线时所求距离之和最小．所以最小距离d＝0－122＋2－02＝172.拓展提升抛物线的定义及应用抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质．【跟踪训练2】已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为()A．22B．4C.2D.322＋1答案A解析将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A.探究3与抛物线有关的轨迹问题例3已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P与圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．[解]解法一：设点P的坐标为(x，y)，动圆P的半径为r，由条件知|AP|＝r＋1，即x＋22＋y2＝|x－1|＋1，化简，整理得y2＝－8x.解法二：如图，设动圆P的半径为r，作PK垂直直线x＝1，垂足为K，PQ垂直直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，所以|PQ|＝r＋1，又|AP|＝r＋1，所以|AP|＝|PQ|，故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准-6-线．∴p2＝2，∴p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.拓展提升利用定义求轨迹的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．【跟踪训练3】平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．解解法一：设P点的坐标为(x，y)，则有x－12＋y2＝|x|＋1.两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.所以y2＝4x，x≥0，0，x0，即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x0)．解法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x0)．探究4抛物线方程的实际应用例4“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8(部分)组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知AB＝44m，∠A＝45°，AC1＝4m，C1C2＝5m，立柱C2D2＝5.55m.(1)求立柱C1D1及横梁D1D8的长；-7-(2)求抛物线D1OD8的方程和桥梁的拱高OH.[解](1)由题意知，∠A＝45°，AC1＝4m，则C1D1＝4m.因为ABD8D1是等腰梯形，由对称性知，AH＝HB＝12AB＝12×44＝22m，AC1＝C8B＝4m，C1H＝12C1C8＝12(AB－AC1－C8B)＝12×(44－4－4)＝12×36＝18m.所以D1D8＝C1C8＝36m.(2)由(1)知点D1的横坐标为－18，则D2的横坐标为－(18－5)＝－13，设D1，D2点的纵坐标分别为y1，y2，由图形知|y1－y2|＝|5.55－4|＝1.55.设抛物线的方程为x2＝－2py(p0)，将点D1，D2代入，得－182＝－2py1，－132＝－2py2，两式相减得2p(y2－y1)＝182－132＝155，解得2p＝100，故抛物线方程为x2＝－100y.因此，当x＝－18时，y＝－1100x2＝－1100×324＝－3.24m，故|y1|＝3.24m，所以桥梁的拱高OH＝3.24＋4＝7.24m.拓展提升求解抛物线实际应用题的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线的标准方程．(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求解：求出所要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．【跟踪训练4】喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？解如图所示，建立直角坐标系，设B点坐标为(0,0)，设水流所形成的抛物线的方程为-8-x2＝－2py(p0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，因为点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0，即y0＝－165，所以OA的长为5－165＝1.8m.所以管柱OA的长为1.8m.探究5与抛物线有关的最值问题例5已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．[解]∵(－2)2＜8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B.由抛物线的定义可知，|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12.故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为－2，12.拓展提升解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线-9-的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如：两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等．【跟踪训练5】已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.14，－1B.14，1C．(1,2)D．(1，－2)答案A解析点Q(2，－1)在抛物线内部，如图所示．由抛物线的定义知，抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x＝－1的距离，过Q点作x＝－1的垂线，与抛物线交于点K，则K为所求，当y＝－1时，x＝14，∴点P的坐标为14，－1.1.根椐抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程.2.抛物线标准