2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 3 空间直角坐标系 3.1 空间直角坐标系的建

13.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标3.3空间两点间的距离公式[学习目标]1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2.掌握空间两点间的距离公式.【主干自填】1．空间直角坐标系(1)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让四指与大拇指垂直，四指先指向□01x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向□02y轴正方向，此时大拇指指向□03z轴正向，这样的坐标系称右手系．(2)坐标系中相关概念如图所示的坐标系中，□04O叫作原点，□05x，y，z轴统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别记为□06xOy平面、□07yOz平面、□08zOx平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，第一个是□09x坐标，第二个是□10y坐标，第三个是□11z坐标．(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立了□12一一对应的关系．3．长方体的对角线(1)连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为□13长方体的对角线．(如图)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝□14a2＋b2＋c2.4．空间两点间的距离公式(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|＝□15x20＋y20＋z20.2(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝□16x1－x22y1－y22z1－z22.【即时小测】思考下列问题(1)画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90°？提示：不是．空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画∠xOy＝135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz＝90°，以表示z轴竖直．(2)确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？提示：确定点的位置一般有三种方法：①在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面β；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面γ，于是α，β，γ交于一点，该点即为所求．②确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置．③以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．(3)空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗？提示：空间中两点间的距离与两点的顺序无关，两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此，距离公式也可以写成|P1P2|＝x2－x12y2－y12z2－z12.(4)已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？提示：由x2＋y2＋z2为点P到坐标原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P到原点的距离为定值|r|.因此r≠0时，x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面．当r＝0时，x2＋y2＋z2＝0表示原点．例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．[解]如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz.3∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)．类题通法建系确定点的坐标的原则(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．[变式训练1]如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．解如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空4间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|＝12.∴E点的坐标为1，12，0.∵B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为1，1，12.同理可得G点坐标为1，12，12.例2求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．[解]如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1，2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB.则A与B关于x轴对称且B(1，－2，1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)．A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．5[变式训练2]已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为()A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7答案D解析关于x轴对称的点，x轴上的坐标不变，其他是相反数，则λ＝2，3－μ＝－7，－1＋v＝6⇒λ＝2，μ＝10，v＝7.例3在空间直角坐标系中，解答下列各题：(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．[解](1)因为点P在x轴上，所以设点P(x,0,0)，由题意，得|P0P|＝x－42＋1＋4＝30.解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M(x,1－x,0)，则|MN|＝x－621－x－520－12＝2x－12＋51.所以，当x＝1时，|MN|min＝51，此时点M(1,0,0)．类题通法确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程组6求点坐标，另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题.无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算.[变式训练3]在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3,4,5)的距离最小，并求出最小值．解∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，∴设点M的坐标为(a,2a,0)，则|MP|＝a＋322a－42＋52＝5a2－10a＋50＝5a－12＋45.∴当a＝1时，|MP|取最小值35，此时M(1,2,0)．∴M坐标为(1,2,0)时，|MP|最小，最小值为35.易错点⊳忽略建系的条件[典例]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[错解]如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．显然A(0,0,0)．又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，∴B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，∴B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，∴各点坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)．7[错因分析]因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线作为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．[正解]取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∵三棱柱各棱长均为1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝12，OB＝32，∵A，B，C均在坐标轴上，∴A0，－12，0，B32，0，0，C0，12，0，点A1与C1在yOz平面内，∴A10，－12，1，C10，12，1，点B1在xOy平面内的射影为B，且BB1＝1.∴B132，0，1，∴各点的坐标为A0，－12，0，B32，0，0，C0，12，0，A10，－12，1，B132，0，1，C10，12，1.课堂小结1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想.81．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内答案C解析点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上．2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案A解析点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．3．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()A．－3或4B．6或2C．3或－4D．6或－2答案D解析由题意得x－221－32＋2－42＝26，解得x＝－2或x＝6.4．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．答案(4,0，－1)解析设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x0＝3＋52＝4，y0＝2－22＝0，z0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)．